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Exponentielle avec suites

Posté par
Maeli10
31-10-15 à 11:44

Bonjour! Alors voilà j'ai un DM de maths et arrivée à l'avant dernière question d'un exercice, je bloque

Citation :
En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n>= 1 , 0<=2-un<=(1/2)^n-1

Dans la question précédente, on devait montrer que pour tout entier naturel n, 0<=2-un+1<=(1/2)(2-un)
La suite u est définie par u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=f(un)
f(x)=(x+2exp(x))/(1+exp(x))

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 12:09

Bonjour

à la question précédente tu as :

Citation :
0<=2-un+1<=(1/2)(2-un)


eh bien réitère

0\le2-u_{n+1}\le(1/2)(2-u_n)\le(1/2)^2(2-u_{n-1})\le...

etc....

Posté par
Maeli10
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 15:11

C'est très gentil à vous de vouloir m'aider
Malheureusement je ne vois pas comment vous pouvez passer de un à un-1 dans votre expression
De plus, ma propriété de récurrence est-elle P(n):"0<=2-un<=(1/2)^n-1" ? Ou faut-il partir de la question précédente ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 15:34

une autre manière de présenter....

0\le2-u_{n+1}\le(1/2)(2-u_n)

0\le2-u_{n}\le(1/2)(2-u_{n-1})

0\le2-u_{n-1}\le(1/2)(2-u_{n-2})

...

et tu continues ainsi

et tout va se simplifier (tu n'as que des termes strictement positifs)

Posté par
Maeli10
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 15:46

Je commence à comprendre, mais le but d'une récurrence est d'admettre que notre propriété est vraie au rang k et de prouver qu'elle est vraie au rang k+1
Or ici si je comprends bien, on passe plutôt de k à k-1
Et pour simplifier il faut développer ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 16:43

l'essentiel est que tu commences à comprendre le mécanisme déjà de cet exo

oui, alors ce que je t'ai écrit n'est pas "par récurrence"
sauf que...des points de suspension dans une démonstration, c'est une récurrence cachée !

donc oui, il va falloir que t'en passes par une récurrence correctement rédigée

je passe sur l'initialisation, qui ne doit pas poser de problème
supposons que

0\le 2-u_p \le (1/2)^{p-1}

alors0\le 2-u_{p+1}\le(1/2)(2-u_p) d'après la question précédente

et là tu utilises ton hypothèse d'hérédité qui est "0\le 2-u_p \le (1/2)^{p-1}  "

et c'est fini...

Posté par
Maeli10
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 17:30

J'ai donc :
P(n):"0<=2-un<=(1/2)^n-1"
Initialisation: Montrons que la propriété est vraie au rang 1 (car n>=1)
2-u1=2-1=1     (1/2)^1-1=1
On a donc bien : 0<=1<=1
Donc la propriété est vraie au rang 1
Hérédité: Supposons que la propriété est vraie au rang p, càd P(p):"0<=2-up<=(1/2)^p-1"
Montrons qu'elle est vraie au rang p+1
0<=2-up+1<=(1/2)(2-up) d'après la question précédente
0<=2-up<=(1/2)(2-up-1)

Ensuite je ne vois pas ce qui peut se simplifier

Merci pour votre patience !

Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 17:33

chez moi

(1/2)(1/2)^{p-1}=(1/2)^p

tout repose là dessus

Posté par
Maeli10
re : Exponentielle avec suites 31-10-15 à 17:50

Ah je crois avoir compris !
Montrons qu'elle est vraie au rang p+1
0<=2-up<=(1/2)^p-1
0<=(1/2)(2-up)<=(1/2)^p
or, on sait que 0<=2-un+1<=(1/2)(2-un) d'après la question précédente
donc 0<=2-up+1<=(1/2)(2-up)<=(1/2)^p
soit 0<=2-up+1<=(1/2)^p
Donc la propriété est vraie au rang p+1



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