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exponentielle c est pour mardi svp
Bonjour aidez moi svp
on considère l'équation y'=y et on ajoute la condition y(0)=1
Une solution de cette équation est donc une fonciton dérivable sur R telle que f(0)=1 et pour tout réel x,f(x)=f(x)
Nous allonsn utiliser la méthode d'Euler pour constuire la solution approchée sur [0;1]. n est un en tier naturel non nul
On découpe l'intervalle [0;1] en intervalles de longueur 1 et on note t0=0, t1,......tk.....,tn=1 les points de la subdivision rangés dans l'ordre croissant. On va calculer les valeurs approchées y0,y1,.....,yn des nombres f(t0),f(t1),....,f(tn) à l'aide des approximations affines
1)comme on sait que f(0)=1 on pose y0=1
Justifiez que l'approximation affine de f(t0+(1/n)) est 1+(1/n)
on choisit y1=1+(1/n)
2)on suppose que l'on construit y0,y1,....,yn
a)justifiez que l'approximation affine de f(tk+(1/n)) est f(tk)(1+(1/n))
On choisit y(k+1)=yk(1+(1/n))
b)démontrer par récurrence par récurrence sur l'entier naturel k que yk=(1+(1/n))
k
aidez moi svp je n'y arrive pas dur tout aucune questionexpliquez moi juste les étapes svp pour le 1 j'ai trouvé f(t0+(1/n))
0 de 1+(1/n) c'est ça?? et pour le reste je flanche aidez moi svp
Bonjour,
Dans l'énoncé je suppose que c'est :
« pour tout réel x, f ' (x) = f (x) » et aussi :
« on découpe l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1/n et … » et encore
« Yk = (1 + 1/n)^k »
(attention si l'énoncé est déjà altéré on ne risque pas de finir juste)
Réponse 1 :
quand n est très grand on a :
x + 1/n # x et
f (x + 1/n) # f (x) et aussi f ' (x + 1/n) # f ' (x) = f (x)
aux alentours du point x = 0 cela donne :
y1 = f (0 + 1/n) # f (0) = 1 et f ' (0) = f (0) = 1
Or le nombre dérivé en un point exprime l'accroissement en y par rapport à l'accroissement en x à ce point. Ici ce rapport vaut 1, donc pour un accroissement de x de 1/n on a un accroissement de y de 1/n, d'où le fait que f (0 + 1/n) = f (0) + 1/n
Réponse 2 :
a) C'est la première partie de la réponse 1
b) Démonstration de la récurrence :
Définition de la proposition de récurrence :
P : on va montrer que yk = (1 + 1/n)^k
Initialisation:
Pour k = 0 on a Y0 = 1 = (1 + 1/n)^0 , donc P est vraie en k=0
Pour k = 1 on a Y1 = 1 + 1/n = (1 + 1/n)^1 , (montré à la réponse 1),
donc P est vraie aussi en k=1
Chaînage:
Il faut montrer que si la proposition P est vraie pour un k quelconque pris
dans l'intervalle [ 0 ; n [ ,
elle sera vraie aussi en k + 1,
car si ceci est vrai, alors de proche en proche ça implique que P est vrai pour tout k appartenant à cet intervalle.
Supposons donc P vraie pour k et vérifions que ça implique que P est vraie pour k+1
Si P est vraie en k , alors on a:
Yk = (1 + 1/n)^k
Comme par définition dans l'énoncé la dérivée de cette fonction est égale à la fonction en tout point et que l'accroissement de y est le produit de l'accroissement en x par la valeur de la dérivée en ce point, on a :
L'accroissement de y sera le même que l'accroissement de x multiplié par la valeur de la fonction en x :
Y(k+1) = Yk + Yk . accroissement de x = Yk . (1 + accroissement de x) =
(1 + 1/n)^k . ( 1 + 1/n) = (1 + 1/n)^(k+1)
Finalement on a :
Y(k+1) = (1 + 1/n)^(k+1), donc P est vraie aussi en k+1
Conclusion :
P est vraie en K=0
Pour tout k appartenant à l'intervalle ] 0 ; n ], si P est vrai en k il l'est aussi en k+1
Donc P est vraie pour tout k de cet intervalle.
Donc on a bien Yk = (1 + 1/n)^k
J'espère que ça te semblera clair, sinon dis-le moi.
Bye !
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