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Exponentielle de base a

Posté par
hello18 03-05-11 à 23:05

Bonsoir,
Je bloque sur un exercice...
1) Démontrer que la fonction f(x)=xa (ou xa=ea.lnx) est dérivable sur R+* et que sa dérivée est a.xa-1.

J'ai dit que la fonction f(x) est de la forme eu (avec u(x)=a.lnx) Donc f'(x)=a/x . ea.lnx
Mais ce n'est pas ça car on donne la dérivée un peu plus loin ...
Merci d'avance de votre aide.

Posté par
bibere : Exponentielle de base a 03-05-11 à 23:12

Bonsoir,

Quand tu as f'(x)=a/x .exp(a.ln(x))  tu peux écrire exp(a.ln(x))=xa

Donc f'(x)=(a/x)*xa  et on sait également que 1/x=x-1

f'(x)=a.xa.x-1

f'(x)=a.xa-1

Posté par
hello18re : Exponentielle de base a 03-05-11 à 23:22

merci beaucoup!!
Et pour dire qu'elle est dérivable sur R+*, on peut dire que
a/x est dérivable sur R* ; que la fonction expo est dérivable sur R Et que a.lnx est dérivable sur R+* DONC par composition, f'(x) est dérivable sur R+*.

Posté par
hello18re : Exponentielle de base a 03-05-11 à 23:52

J'ai une autre petite question, peut on dire que les fonctions f(x)=2x et g(x)=(1/2)x sont symétriques ?

Posté par
dhaltere : Exponentielle de base a 03-05-11 à 23:56

f(-x)= 2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\frac{1^x}{2^x}=(\frac12)^x=g(x)
oui, on peut le dire

Exponentielle de base a

Posté par
hello18re : Exponentielle de base a 04-05-11 à 00:13

Merci !
Par contre, j'ai une nouvelle question
je dois calculer l'aire verte. Je pense avoir une idée : Calculer seulement une partie (par ex celle entre 0 +00) et la multiplier par deux.
Pour le petit morceau en bas, je pense que j'arriverais à le faire mais comment faire pour la partie du haut ?
mErci d'avance

Exponentielle de base a

Posté par
dhaltere : Exponentielle de base a 04-05-11 à 00:19

Exponentielle de base a

l'intégrale facile à calculer est la verte
tu veux la bleue
mais vert + bleu est un rectangle lui aussi facile à calculer
tu feras la différence des deux.

Posté par
hello18re : Exponentielle de base a 04-05-11 à 00:31

Ah ! astucieux !Merci beaucoup. Je pense que je devrais m'en sortir tout seul maintenant.
Une dernière chose, peux-tu regarder ma rédaction :

Citation :

f(x)=xa (ou xa=ea.lnx)
Et pour dire qu'elle est dérivable sur R+*, on peut dire que
a/x est dérivable sur R* ; que la fonction expo est dérivable sur R Et que a.lnx est dérivable sur R+* DONC par composition, f'(x) est dérivable sur R+*.

Posté par
dhaltere : Exponentielle de base a 04-05-11 à 08:08

Pour tout couple (b;a)\in\mathbb{R}^{*+}\,\times\,\mathbb{R}, on définit b^a=e^{(a\ln(b))}

il est important de voir que cette expression n'est effectivement définie dans le cadre des nombres réels que pour b>0

(on peut aussi définir ces expressions dans le cas des nombres complexes, mais c'est une toute autre histoire)

cette définition est homogène avec les propriétés des exponentielles, en particulier celles-ci :
e^{(a\ln(b))}=(e^{\ln(b)})^a=(b)^a

pour tout a\in\mathbb{R}, on définit la fonction f_a par
f_a\,:\qquad\begin{array}{ccl} \\ \mathbb{R}^{+*}&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ x&\longrightarrow&f_a(x)=x^a=e^{(a\ln(x))}\end{array}

Alors cette fonction sous la seconde forme est la composition de deux fonctions :
f_a=h\circ g
définies ainsi
g\,:\qquad\begin{array}{ccl} \\ \mathbb{R}^{+*}&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ x&\longrightarrow&g(x)=a\ln(x)\end{array}
et
h\,:\qquad\begin{array}{ccl} \\ \mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ x&\longrightarrow&h(x)=e^{x}\end{array}

La fonction g est définie, continue et dérivable sur son domaine de définition et est à valeurs dans l'ensemble des réels qui est le domaine de définition de h

La fonction h est définie, continue et dérivable sur son domaine de définition

La fonction composée f_a=h\circ g est alors définie, continue et dérivable sur le domaine de définition de g

la fonction dérivée de f_a, notée f_a', s'obtient par la formule de la dérivée :
f_a'(x)=(h\circ g)'(x)=g'(x) \times[h'\circ g](x)
avec
g(x)=a\ln(x)\rightarrow g'(x)=\frac ax=ax^{(-1)} \\ h(x)=e^x\rightarrow h'(x)=e^x

donc
f_a'(x)=ax^{(-1)}\times e^{a\ln(x)}
l'expression x^{(-1)} est une expression particulière de la famille de fonctions f_a : f_{-1}(x)=x^{(-1)}=e^{(-\ln(x))}

donc la fonction dérivée f_a' s'exprime ainsi :
f_a'(x)=ae^{(-\ln(x))}\times e^{a\ln(x)}
et les propriétés des exponentielles nous permettent d'écrire que
f_a'(x)=ae^{(-\ln(x)+a\ln(x))} \\ f_a'(x)=ae^{((a-1)\ln(x))}

L'expression e^{((a-1)\ln(x))} est une expression particulière de la famille de fonctions f_a : f_{a-1}(x)=x^{(a-1)}=e^{((a-1)\ln(x))}

donc la fonction dérivée f_a' s'exprime ainsi :
f_a'(x)=ax^{(a-1)}

et voilà la démonstration complète de cette formule, un vrai roman, n'est-ce pas, mais au moins il ne reste aucune ambiguïté

je t'avoue que ton prof n'en attend sûrement pas tant, à toi de prendre ce qui te parait judicieux.

Posté par
hello18re : Exponentielle de base a 04-05-11 à 15:18

Je n'attendais pas une réponse aussi complète ! Mais merci beaucoup tout de même !


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