je me suis trompé,
A et B deux matrice DIAGONALISABLE (et non pas inversible).
montrer que : exp(A) = exp(B) => A =B

Bonjour

J'arrive à montrer qu'elles sont semblables, mais pas égales.

Bonjour

Raisonnons sur les endomorphismes associés.

Si f est diagonalisable, les valeurs propres de exp(f) sont les exponentielles des valeurs propres de f.
Si l'espace est en outre réel, les sous-espaces propres de exp(f) sont exactement ceux de f.
Si g est analogue et en plus exp(f)=exp(g), f et g ont même sous-espaces propres et mêmes restrictions à ces s.e.p. donc f=g.
Matriciellement:

Donc, SI les matrices A et B sont REELLES , diagonalisables et exp(A)=exp(B), alors A=B

Merci rogerd.
En fait ce que tu as essentiellement cherché à démontrer c'est que deux endormorphismes qui ont les mêmes valeurs propres coincident ?

et en fait pourquoi est ce que f et exp(f) auraient les mêmes sous-espaces propres car déjà leur valeurs propres sont distinctes : exp(f) c'est l'exponentielle des valeurs propres de f, donc c'est pas la même chose ?

Je détaille un peu plus:
Si f est diagonalisable, sa matrice D sur une base de vecteurs propres est diagonale. La matrice de exp(f) sur cette même base est exp(D). Plus précisément, si les termes diagonaux de D (qui sont les valeurs propres de f) sont d1,...,dn, les termes diagonaux de exp(D) sont exp(d1),..,exp(d1). Au point où j'en suis, je peux donc dire que exp(f) est diagonalisable, sur la même base de vecteurs propres que f, et que les valeurs propres de exp(f) sont les exponentielles des valeurs propres de f.
Je voudrais dire plus précisément que les sous-espaces propres sont les mêmes. Pour cela, je me limite au cas d'un espace réel, pour être sûr que si les valeurs propres d1 et d2 de f sont différentes, les valeurs propres exp(d1) et exp(d2) de exp(f) sont elles aussi différentes.

Avant de continuer j'aimerais bien que tu me dises si le début est clair?

juste un détail, pour montrer que exp(f) et f ont même sous espace propre, j'ai dis que: f(x) = a x => exp(f)(x) = exp(a) x, mais dans l'autre sens je n'arrive pas à montrer que si j'ai un vecter propre de exp(f) alors il est vecteur propre de f pour conclure à l'égalité des sous-espaces propres ?

Je n'avais pas terminé...

Si la matrice d'un endomorphisme g sur une base B est diagonale, et si, par exemple, le réel r apparaît 5 fois sur la diagonale , alors r est valeur propre de g et le sous-espace propre associé est de dimension 5. Il est engendré par les 5 vecteurs x de la base B pour lesquels on a g(x)=rx.
Dans notre exercice on a une base sur laquelle la matrice de f est D diagonale. La matrice de exp(f) sur cette base est également diagonale. De plus, si la valeur propre a de f apparaît 5 fois sur la diagonale pour f, alors exp(a) apparaît 5 fois, et aux mêmes endroits, pour exp(f).
Les 5 vecteurs de la base initiale qui sont concernés forment donc une base du sous-espace propre de f associé à a et aussi une base du sous-espace propre associé à exp(a).
Ces deux sous-espaces sont donc égaux.
Note bien que exp(a) ne peut apparaître plus de 5 fois sur la diagonale de la matrice de exp(f) car si les réels a et b sont différents, leurs exponentielles le sont aussi.

désolé encore des lacunes : quand tu parles de même sous espaces propres pour f et g cela signifie qu'ils ont aussi les mêmes valeurs propres ? N'est pas une condition nécessaire pour que f et g soient égaux sur leur deux sous espaces propres ? Si c'est le cas je ne vois pas où est ce qu'on aurait montrer que les valeurs propres de f et g sont égales ?

Je n'aurais pas du utiliser deux fois la lettre g; cela prète à confusion.
Je reprends en  remplaçant la lettre g par la lettre h.

Si la matrice d'un endomorphisme h sur une base B est diagonale, et si, par exemple, le réel r apparaît 5 fois sur la diagonale , alors r est valeur propre de h et le sous-espace propre associé est de dimension 5. Il est engendré par les 5 vecteurs x de la base B pour lesquels on a g(x)=rx.

La matrice de exp(h) sur cette base B est également diagonale. Le raisonnement fait sur h s'applique donc à exp(h).


De plus, si la valeur propre a de h apparaît 5 fois sur la diagonale pour h, alors exp(a) apparaît 5 fois, et aux mêmes endroits, pour exp(h).
Les 5 vecteurs de la base initiale qui sont concernés forment donc une base du sous-espace propre de h associé à a et aussi une base du sous-espace propre de exp(h) associé à exp(a).
Ces deux sous-espaces sont donc égaux.
Note bien que exp(a) ne peut apparaître plus de 5 fois sur la diagonale de la matrice de exp(h) car si les réels a et b sont différents, leurs exponentielles le sont aussi.

Conclusion provisoire: Si h est diagonalisable, le sous-espace propre de h pour la valeur propre a et le sous-espace propre de exp(h) pour la valeur propre exp(a) sont égaux.

Dans notre exercice on a deux endomorphismes f et g diagonalisables. On peut donc appliquer ce qui précède à chacun des deux . En plus exp(f)=exp(g).

Vois-tu la suite?

comme exp(f) et exp(h) sont égales, alors elles ont les mêmes sous espaces propres : exp(f) à même sous espace propre que celui de f
exp(h) a même sep que celui de h
exp(f) exp(h) ont même sep
donc par transitivité f et h ont même sep.
Finalement je conclus par le fait que deux matrices ayant même sep sont égales ?

f et g ont les mêmes sous-espaces propres et ont les mêmes valeurs propres et sont diagonalisables ; ils ont donc même matrice sur une base de vecteurs propres et sont donc égaux.
On peut maintenant revenir aux matrices A et B, qui étaient les matrices de f et g sur une base quelconque. Comme f=g, on a A=B.

mêmes valeurs propres car : exp(f) et exp(g) ont les mêmes dans une mêmes bases, et comme ce sont les exponentielles des valeurs propres de f et g alors forcément les valeurs propres de f et g sont égales.
f et g diagonalisable, et maintenant on peut conclure ?

Bonjour

Merci pour tes patientes explications, rogerd.

Je tente de résumer:

A diagonalisable  ---> e^A diagonalisable, de même base de vecteurs propres B' et avec les n valeurs propres


B diagonalisable  ---> e^B diagonalisable, de même base de vecteurs propres B'' et avec les n valeurs propres

e^A = e^B tout en étant diagonalisable, donc mêmes vecteurs et valeurs propres: B' = B'' et

D'où

Donc

A = P D P^-1  avec D = ()

B = P D P^-1  avec D' = ()

Donc A = B

Merci infiniment à vous deux :)

Pas de quoi!
Bonne journée.