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exponentielle de matrice

Posté par
julio65000 22-12-11 à 19:34

Bonjour , alors je dois vous avouer que j'ai vraiment rien compris aux exponentielles de matrices donc l'exo suivant me parait compliqué , pourriez vous m'aider ?
merci d'avance

Soit la matrice A = ( 1   2   -1 )
                            ( 1   2   -2 )
                            ( 1   2   -1 )
Quel est son polynôme caractéristique ?
Calculer exp(tA)?

Pour le polynome , j'ai trouvé -3+22-2

Apres je ne vois pas comment trouvé l'exponentielle ...

merci

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 22-12-11 à 19:51

@Julio : Quelles sont les valeurs propres de A ? Cette matrice est-elle diagonalisable ?

A +

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 22-12-11 à 20:03

Sauf erreur de ma part, ton p.c est \chi_A=-X(X^2-2X+1).

A +

Posté par
sabagare : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:21

\[\begin{array}{c} \\ \det \left( {A - \lambda {I_3}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ {1 - \lambda }&2&{ - 1}\\ \\ 1&{2 - \lambda }&{ - 2}\\ \\ 1&2&{ - 1 - \lambda } \\ \end{array}} \right|\\ \\ = \left( {1 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ {2 - \lambda }&{ - 2}\\ \\ 2&{ - 1 - \lambda } \\ \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 2&{ - 1}\\ \\ 2&{ - 1 - \lambda } \\ \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 2&{ - 1}\\ \\ {2 - \lambda }&{ - 2} \\ \end{array}} \right|\\ \\ = \left( {1 - \lambda } \right)\left[ {\left( {\lambda  - 2} \right)\left( {1 + \lambda } \right) + 4} \right] + \left( {2 + 2\lambda } \right) - 2 - 4 + 2 - \lambda \\ \\ = \left( {1 - \lambda } \right)\left( {2 - \lambda  + {\lambda ^2}} \right) - 2 + \lambda \\ \\ {\chi _A}\left( \lambda  \right) =  - {\lambda ^3} + 2{\lambda ^2} - 2\lambda \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:27

donc les Racines de polynôme caractéristique sont: \[\lambda  = 0;\lambda  =  - 1 - \sqrt 3 ;\lambda  =  - 1+\sqrt 3  \]

Posté par
sabagare : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:30

v vecteur propre de matrice A associé de valeur propre si: Av=v

Posté par
sabagare : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:36

\[\begin{array}{c} \\ \Rightarrow \left( {A - \lambda {I_3}} \right)v = 0\\ \\ \lambda  = 0 \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \\ 1&2&{ - 1}\\ \\ 1&2&{ - 2}\\ \\ 1&2&{ - 1} \\ \end{array}} \right)\left( \begin{array}{l} \\ x\\ \\ y\\ \\ z \\ \end{array} \right) = 0\\ \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ x + 2y - z = 0\\ \\ x + 2y - 2z = 0\\ \\ x + 2y - z = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \\ x =  - \frac{1}{2}y\\ \\ z = 0 \\ \end{array} \right.\\ \\ v = {}^t\left( {1; - \frac{1}{2};0} \right) \\ \end{array}\]

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:39

@Sabaga : Tu as raison. Sur mon papier, j'avais écrit :

\chi_A=\cdots=-X(X^2-2x+2).

Et zut !

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:42

Lire : \chi_A=\cdots=-X(X^2-2X+2)

A +

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:45

@Sabaga : En revanche, pour les valeurs propres distinctes de 0, je ne suis pas de ton avis.

\Delta'=b'^2-ac=1-2=-1=i^2

A +

Posté par
sabagare : exponentielle de matrice 22-12-11 à 21:59

merci DHilbert
je suis trompis  

Posté par
lolo271re : exponentielle de matrice 22-12-11 à 22:37

Si   D  est diagonale  D = (a , b, c)  sur la diagonale alors   exp(D) =  (exp(a) , exp(b), exp(c))  sur la diagonale.

Il ne faut cependant pas croire que diagonaliser est la meilleure méthode pour trouver ton exponentielle.

Posté par
julio65000merci 22-12-11 à 22:40

ouah que de post lol
merci je comprend un peu mieux
c'est bien d'avoir deux points de vue
je reposterai si je recomprend pas qqc
merci

Posté par
julio65000re : exponentielle de matrice 26-12-11 à 17:26

en recopiant mon exercice , je me suis poser des questions , le discriminant etant negatif , je trouve -4 , on n'est pas censer trouver des solution complexe ?

Posté par
julio65000re : exponentielle de matrice 26-12-11 à 17:35

qui sont 1+i et 1-i...

Posté par
julio65000re : exponentielle de matrice 27-12-11 à 12:20

alors j'ai essayer de refaire l'exo je bloque encore lol
je trouve bien mon polynome caracteristique comme -3+22-2
ça OK
ensuite mes valeurs propres sont 0 et deux complexes car le discriminant est negatif : i-1 et -i -1
mettre les exponentielles des valeurs propres sur la diagonales ne suffit pas non ? on me demande exp(tA) et pas exp(A) ...
jsuis perdu un peu ...
merci

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 27-12-11 à 13:49

@Julio : Il est clair que l'on ne t'a pas donné cet exo à faire sans explications, sans cours. Que sais-tu sur les exponentielles de matrices ? Connais-tu la décomposition de Dunford ? La réduction de Jordan ? ...

Tu dois être en L3, non ?

A +

Posté par
julio65000re : exponentielle de matrice 27-12-11 à 15:32

et ben figurer vous que si on m'as donner cet exo sans cours , je ne suis qu'en L2 et je bataille pour avoir mon semestre car mon groupe nous avons un prof meme pas francais en TD et pour tous vous dire on comprend pas grand chose , enfin voila c'est un peu le souk ... mon cours magistral m'a été donner mais l'exponentielle fait parti un peu des annexes donc on a pas develloper je n'ai aucune méthode de résolution en bref ...
merci quand meme

Posté par
lolo271re : exponentielle de matrice 27-12-11 à 17:33

si les valeurs propres de  A  sont  a, b, c   celle de   tA  sont  ta, tb, tc  ce qui facilite tes calculs !

Posté par
lolo271re : exponentielle de matrice 27-12-11 à 17:34

ps : il y a plusieurs méthode pour l'expoenntiellee la meilleure étant (en général ) celle utilisant le polynôme minimal , connais tu cela ?
Sinon autre méthode : tu connais la forme et tu peux identifier sans calculer de matrice de passage pénible.

Posté par
julio65000re : exponentielle de matrice 27-12-11 à 19:23

merci , j'vais essayer bonne continuation

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 27-12-11 à 21:10

@Julio : Vu que tu es en L2, je vais choisir un exemple simple. Soit A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\\\end{pmatrix} une matrice de \mathcal{M}_2(\R). Soit X une indéterminée. L'on a donc \chi_A=\begin{vmatrix}-X & -1\\1 & -X\\\end{vmatrix}=X^2+1 et donc \chi_A=(X-i)(X+i) dans \C . A ce titre, l'on va travailler un peu dans le \R-espace vectoriel \C qui est de dimension 2. Ainsi a-t-on deux valeurs propres distinctes dans \C telles que \lambda_1=-i et \lambda_2=i. Soit alors u(1,i) un vecteur propre lié à \lambda_1, v(1,-i) un vecteur propre lié à \lambda_2. Posons alors P=\begin{pmatrix}1 & 1\\i & -i\\\end{pmatrix}, si bien qu'un petit calcul nous donne P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -i\\1 & i\\\end{pmatrix}. En résumé, l'on peut écrire que A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\\\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}-i & 0\\0 & i\\\end{pmatrix}P^{-1}. A présent, soit t un réel quelconque et considérons la matrice tA qui est telle que tA=\begin{pmatrix}0 & -t\\t & 0\\\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}-it & 0\\0 & it\\\end{pmatrix}P^{-1}. Ce faisant, en revenant à la définition de l'exponentielle d'une matrice \Big(\text{i.e~}\displaystyle e^M=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{M^i}{i!}\Big), l'on trouve e^{tA}=P\begin{pmatrix}e^{-it} & 0\\0 & e^{it}\\\end{pmatrix}P^{-1}. Autement dit, sachant que e^{ix}=\cos x+i\sin x, l'on a donc e^{tA}=P\begin{pmatrix}\cos t-i\sin t & 0\\0 & \cos t+i\sin t\\\end{pmatrix}P^{-1}, soit e^{tA}=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\\sin t & \cos t\\\end{pmatrix} après un petit calcul.

Note : Sur cet exemple simple, tu constates que la détermination de l'exponentielle de la matrice tA, où t\in\R, se fait en deux étapes. Dans ton cas, tu as trois valeurs propres distinctes dans \C. Les calculs sont un peu plus fastidieux, mais tu peux y arriver.

A +

Posté par
alainpaulre : exponentielle de matrice 28-12-11 à 12:09

Bonjour,

Je trouve un signe opposé:
p(l)=l^3-2*l^2+2*l qui annule bien A .
    = l(l-1-i)(l-1+i)

Je me souviens d'une méthode qui utilisait l'inverse:
\frac{1}{p(l)}=\frac{1}{2.l}-\frac{1+i}{4(l-1-i)}-\frac{1-i}{4(l-1+i)} ,



A suivre,

Alain

Posté par
DHilbertre : exponentielle de matrice 28-12-11 à 13:15

@Alain Paul : Si \lambda est une valeur propre, n'a-t-on pas \det(A-\lambda I)=\det(\lambda I-A)=0 ?

A +

Posté par
alainpaulre : exponentielle de matrice 29-12-11 à 09:54

Oui,

je le subodorais.

Je vais essayer de poursuivre,


Alain

Posté par
alainpaulre : exponentielle de matrice 30-12-11 à 10:25

Bonjour,


la méthode à laquelle je pensais est aussi générale
que laborieuse (calcul de f(A) via A^n,Pi(A)...).

Peut être qu'ici nous pouvons partir du développement
de e^{tA} = I+tA+t^2A^/2!+t^3A^3/3!+...

et rechercher une formule pour A^n
correspondant à la matrice donnée.


En nous aidant de
A^3-2A^2+2A=0
pour exprimer les puissances > 2  ,



Alain


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