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Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x

Posté par Piccolo (invité) 09-11-07 à 23:23

Bonjour bon j'ai un exo plutôt farouche là alors je viens vous demander de l'aide, je vous met la première partie de l'énoncé et les réponses que j'ai trouvées et je précise où je bloque

" Le but de l'exercice est de montrer que l'équation (E) e^x=1/x, admet une unique solution dans l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution

PARTIE A - Existence et unicité de la solution

On note f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x-e^-x

1. Démontrer que x est solution de l'équation (E) si, et seulement si, f(x)=0

2. Étude du signe de la fonction f

a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur \mathbb{R}

b) En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur \mathbb{R} notée \alpha

c) Démontrer que \alpha appartient à l'intervalle [ 1/2 ; 1 ]

d) Étudier le signe de f sur l'intervalle [ 0 ; \alpha ] "

Réponses

1. Je sèche mais j'ai comme la fourbe impression qu'elle est vraiment facile...

2.a) Étude de fonction exponentielle normale quoi
  b) Bijection
  c) Là je sais plus trop trop faut que je voye avec tout de bien écrit
  d) Étude normale aussi je pense.

Donc la 1 et la 2.c) si vous avez une idée c'est pas de refus!

Merci d'avance

Piccolo.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 09-11-07 à 23:27

Bonjour,

e^x=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow \frac{1}{e^x}=x\Longleftrightarrow e^{-x}=x\Longleftrightarrow f(x)=0

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 09-11-07 à 23:32

Re,

Pour la 2.c), il suffit de vérifier que f(\frac{1}{2})<0 et f(1)>0

et réappliquer le théorème de la bijection sur [\frac{1}{2},1]

Posté par Piccolo (invité)re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 09-11-07 à 23:36

Ah ok, merci!

Je vais rédiger ça, après je vais dormir, je ferais les deux autres parties demain si j'ai des problèmes j'upperais le topic.

Encore merci Cailloux

a+

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 09-11-07 à 23:37

De rien Piccolo et bienvenue sur l'

Posté par
amez62100re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 24-12-11 à 12:30

bonjour voila j'ai le meme exo que vous a faire en math seulement je ne vois pas comment on demontre que x est solution de E si et seulement si f(x)=0 je ne comprend pas serez t il possible que l'on m'explique?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 24-12-11 à 13:00

Bonjour,

Tout est écrit à 23h27

Posté par
amez62100re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 26-12-11 à 16:58

bonjour voila j'ai un pb avec la question 2 b il faut que je fasse le theoreme de bijection donc j'ai fait:
f est continue
f est derivable
limite de f(x) quand x tend vers - l'inifni c'est -l'infini et inverse pour + l'infini
seulement je sais pas sur quoi conclure la pourriez vous m'aider?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 26-12-11 à 18:37

f est continue et strictement croissante sur ]-\infty;+\infty[

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

f détermine donc une bijection de ]-\infty;+\infty[ dans ]-\infty;+\infty[

D' après le théorème de la bijection, tout élément de \mathbb{R} a un antécédent unique par f, en particulier 0 a un antécédent unique \alpha par f.

Posté par
amez62100re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 27-12-11 à 11:06

merci c'est gentil

Posté par
amez62100re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 30-12-11 à 18:01

bonjour voila j'ai un probleme a detailler le calcul de ma fonction f sur r  pourriez vous m'aidez?

Posté par
lilobre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 31-12-11 à 14:03

bonjour j'ai egalement ce dm à faire et j'aimerais savoir comment on étudie le signe de f sur l'intervalle (0;alpha)

car on a le tableau de variation de f mais comment sait-on la valeur de alpha , je suis un peu perdu pour cette question , je ne cible pas vraiment la demande ..

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 31-12-11 à 15:29

Bonjour,

On sait que f est croissante sur \mathbb{R}

Donc si x\leq \alpha, alors f(x)\leq f(\alpha)

C' est à dire: f(x)\leq 0

Posté par
jo974re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 08-12-13 à 16:42

bonjour, j'ai du mal pour démontrer les variations de f (la 2a)...
pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?!

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 08-12-13 à 16:51

Bonjour,

2)a) f(x)=x-e^{-x}

f'(x)=1+e^{-x}>0 sur \mathbb{R} puisque e^{-x}>0 pour tout x réel.

Donc f est strictement croissante sur \mathbb{R}

Posté par
jo974re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 08-12-13 à 17:13

Merci beaucoup!

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 08-12-13 à 17:59

De rien jo974

Posté par
clemc13Suite de l'exercice 25-10-14 à 17:30

Bonjour j'ai le même exercice à faire pour les vacances, mais je bloque.
[u]
PARTIE C: Construction d'une suite de réels[/u]
On a prouvé dans la partie B que f(x)= 0 est équivalent à g(x)=x
g(x)= (1+x)/(1+e^x)
On a calculé g'(x) et prouvé que g est croissante sur [0;alpha]

On considère la suite(Un) définie par U0=0 et Un+1= g(Un)

1) Démontrer par récurrence que 0<Un<Un+1<alpha

Réponse:

initialisation: U0+1 = g(U0) = (1+0)/(1+1)= 1/2
Donc la propriété est vraie pour U1

transmission: Notre hypothèse de récurrence nous donne que 0<Un<Un+1<alpha
Montrons qu'elle est vraie pour Un+2
tel que Un+1<Un+2<alpha

Un+2= (1+Un+1)/(1+exp(Un+1))

je n'arrive pas à poursuivre la récurrence, est ce que quelqu'un saurait m'expliquer ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 25-10-14 à 19:39

Bonjour,

On suppose donc que pour un certain rang n entier naturel fixé:

0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha

Par croissance de g sur [0,\alpha]:

g(0)\leq g(u_n)\leq g(u_{n+1})\leq g(\alpha )

c' est à dire:

\dfrac{1}{2}\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \alpha

d' où 0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \alpha

et l' hérédité est prouvée.

Posté par
clemc13re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 26-10-14 à 11:13

Merci beaucoup Cailloux  !!

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 26-10-14 à 11:51

De rien clemc13

Posté par
Julaii67re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 03-12-14 à 15:06

Bonjour, je me posais juste une question : comment passe-t-on de g(alpha) à alpha, dans la troisième ligne de l'hérédité ?
Merci d'avance de votre réponse

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 03-12-14 à 16:59

Bonjour,

Voir plus haut 25/10/14 à 17h30:

Citation :
On a prouvé dans la partie B que f(x)= 0 est équivalent à g(x)=x
g(x)= (1+x)/(1+e^x)


Donc \alpha est solution de l' équation g(x)=x

Autrement dit: g(\alpha)=\alpha

Posté par
aichare : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 03-12-14 à 18:52

Bonjour j'ai également ce dm a faire mais pour la premiere question je n'ai pas compris comment vous avezfait pouvez vous me reexpliquer

Posté par
aichare : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 03-12-14 à 19:02

ahhh c bon j'ai compris

Posté par
aichare : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 03-12-14 à 19:11

Pour la question 2b) sommes nous obliger de chercher les limites et dresser un tableau de signe ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 05-12-14 à 00:12

Bonsoir,

Les limites, oui. Ensuite on applique le TVI dans le cas d' une fonction monotone (ou théorème de la bijection).

Posté par
Julaii67re : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 10-12-14 à 20:53

Merci Cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : Exponentielle exp(x)=1/x et suite qui converge vers cet x 10-12-14 à 23:01


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