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Exponentielles

Posté par
LoliMurdoch
26-02-20 à 21:11

Bonjour, j'ai fais un exercice de math et j'aimerais savoir si il est correcte car je doute notamment de la première question. Pouvez-vous m'aidez?🤗
Énoncé - Questions - Réponses
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On considère une culture bactérienne dans laquelle le nombre de bactéries (en millions) se modélise par f(x)= \frac{150}{1+90e^{-0,6x}} où x : temps en heures (x 𝜖 [0; 24])

A/ Modèle de « Verhulst »
1) Calculer le nombre de bactéries 10 heures après le début de la mise en culture.
valeur exacte puis arrondie à la centaine de milliers près


---> On a f(x)= \frac{150}{1+90e^{-0,6x}} avec x=10
soit f(10)= \frac{150}{1+90e^{-0,6\times 10}}= \frac{150}{1+90e^{-6}} = 122,640
avec comme valeur exacte : \frac{150}{1+90e^{-6}} et comme valeur arrondie à la centaine de milliers : 122,640

2) Déterminer l'expression de la dérivée de f.

---> on a f(x)= \frac{150}{1+90e^{-0,6x}} = 150 \times \frac{1}{1+90e^{-0,6x}}
donc f'(x)= 150x (un inverse)
=> En ce qui concerne l'inverse : v(x)= 1+90e-0,6x et v'(x)= -54e-0,6x avec f'(x)= -\frac{v'(x)}{[v(x)]^{2}}
Ce qui nous donne au final f'(x)= \frac{8100e^{-0,6x}}{(1+90e^{-0,6x})^{2}}

3) Réaliser son tableau de variations de f (valeurs exactes)

---> Comme de dénominateur est le carré de 1+90e-0,6x >0 alors il n'y à pas de valeur interdite.

\begin{array} {|c|cccc|} x & 0 & & 24& \\ {8100e^{-0,6x}} & & + & & \\ {(1+90e^{-0,6x})^{2}} & & + & & \\ {f'(x)} & & + & & \\ {f(x)} & \frac{150}{91} & \nearrow & \frac{150}{1+90e^{-14,4}}& \end{array}

B/Réaliser le tableau de variations de g définie sur R par g(x)= 7x-10e^{0,7x+14}+8

---> On a g(x)= 7x-10e^{0,7x+14}+8
soit g'(x)=7-7e^{0,7x+14} = 7(1-e^{0,7x+14} )

1-e^{0,7x+14}=0
e^{0,7x+14}=1
e^{0,7x+14}=e^{0}
0,7x+14=0
0,7x=-14
x=-20

g'(x)=0 si et seulement si : x=-20

\begin{array} {|c|cccccc|} x & -\infty & & -20 & & +\infty & \\ {7} & & + & & + & & \\ {1-e^{0,7x+14}} & & + & 0 & - & & \\ {g'(x)} & & + & 0 &- & & \\ {g(x)} & & \nearrow &0 & \searrow& & \end{array}
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Merci d'avance🤗

Posté par
PLSVU
re : Exponentielles 26-02-20 à 21:30

Bonsoir,
   ok pour tes réponses
une seule erreur pour  g(20)  
1-e^{0,7x+14}
 \\
car 14+14=28≠0

Posté par
Yzz
re : Exponentielles 26-02-20 à 21:39

Salut,

J'aurais plutôt dit :
Une erreur pour g(-20) :

g(-20)= 7*(-20)-10e^{0,7*(-20)+14}+8 = -140-10e^{0}+8 = -142

Posté par
PLSVU
re : Exponentielles 26-02-20 à 21:49

Bonsoir Yzz

Posté par
LoliMurdoch
re : Exponentielles 26-02-20 à 21:59

En effet, une petite erreur d'inattention de ma part.😅
Je vous remercie PLSVU et Yzz d'avoir prit le temps de vérifier mon exercice.
Bonsoir🤗



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