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expontielle et equa diff
BONJOUR VOILA JE SUIS TRés embété g un exercice qui est long est compliké il mélange math é phisik, é en classe on a pa tro vu cete lecon alors si vou pourriez médé ca seré tré sympa merci d'avance.
parachutage:
un objet relié à un parachute est largué à l'instant t=0 en un point 0
on admet ke sa trajectoire est verticale et ke la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse de la pénétration ds l'air et on note k le coeficient de proportionnalité.
a chak instant t,exprimé en secondes,on désigne par v(t) la vitesse de l'objet et par h(t) son altitude
1/ démontrer ke:
m(dv/dt)+kv=mg (E), où m est la masse totale,en kg,de l'objet et du parachute et g le coefficient d'accélération de la pesanteur.
2/on prend; m=8kg, g=10m.s[/sup]-2 et k=25unités SI
ON suppose ke l'altitude, en mètres, du point O est h(0)=100 et ke la vitesse initiale v(0) est nulle
a)déterminer v(t) en fonctio de t
b)en d"duire ke: h(t)=100-3.2t-1.024exp(-3.125t)
c) démontrer ke l'ékation :
100-3.2t-1.024exp(-3.125t)=0 admet une unik solution t1
En déduire une valeur approchée,à 1 seconde près, de la durée de la chute et une valeur approchée,à 0.1 m.s[sup]-1, de la vitesse à l'arrivée au sol
3/ reprendre la kestion précédente,en supposant ke l'objet est largué d'une altitude de 500m
4/reprenddre la kestion 2/,en supposant ke l'objet est largué avec une vitesse verticale de 5 m.s[sup][/sup]-1
5/ on se place ds le cas général
on suppose ke l'objet est largué à une altitude h0 avec une vitesse verticale v0
on désigne par t1 la durée de chute et v1 la vitesse de l'objet lorsqu'il arrive au sol
a) démontrer ke, pour tout réel t de [0;t1]:
v(t)=(v0-3.2)exp(-3.125t) +3.2
et h(t)=h0 +(0.32v0 -1.024)exp(-3.125t)- 3.2t
b) dans cette kestion,on suppose ke v0
3.2
justifier ke:
v13.2
c) dans cette kestion on suppose ke:
3.2v0100 et h0
10
démontrer ke, pour tout réel t de [0;t1]:
h(t)10-3.2t
en déduire ke t13 et v13.21
voila merci d'avance , je sais qu'il est lond mais j'ai vraiment pas compris
pour la kestion 1 j'essaie de fère la somme dé force mé je compren pa d'où vient la dérivé dv/dt
Bonjour
1)
le bilan des forces :
l'attraction de la pesanteur : mg
la résistance de l'air : kv
On applique la 1ere loi de la mécanique F = ma
a accélération = dv/dt
donc m dv/dt = mg - kv attention mg et kv sont de signes contraires
ou
m dv/dt + kv = mg
pour la 2 j'ai un problème
m dv/dt + kv = mg
sans second membre m dv/dt + k v = 0 v=a exp(-kt/m)
solution particulière avec second membre dv/dt=0
donc v = -mg/k car la vitesse est dirigée vers le bas
donc
v= -mg/k + a exp(-kt/m)
v(0)=0 donc a=mg/k
et v(t)=-mg/k + mg/k exp(-kt/m)=-mg/k(1-exp(-kt/m))
en intégrant
h(t)=-mg/k t -m²g/k² exp(-kt/m) + A
h(0)=h0
donc h(t) = h0 - mg/k t + m²g/k²(1-exp(-kt/m))
donc h(t) = 100 - 3,2 t + 1,024(1-exp(-3,125t))
si t=0 h(0)=100
et non
h(t)=100-3.2t-1.024exp(-3.125t)
si t=0 h(0)=100-1,024 différent de 100 ?????
A+ pour la suite
pouvez vou m'aider svp, je comprend pa du tou cet exo merci d'avance
Bonjour
2)
m dv/dt + kv = mg
peut s'écrire en divisant par m les 2 membres
v' + (k/m)v = g
c'est une équation différentielle du premier ordre
dont la solution est (résolution sabs second membre + solution particulière) :
v= -mg/k + a exp(-kt/m)
avec a constante d'intégration
on a v(0)=0 -> 0 = -mg/k + a exp(0) -> a = mg/k
donc v(t)= -mg/k + mg/k exp(-kt/m)
ou v(t) = -mg/k(1 - exp(-kt/m))
mais v(t) = h'(t)
donc h'(t) = -mg/k(1 - exp(-kt/m))
et en intégrant h'(t) = -mg/k(1 - exp(-kt/m))
on obtient :
h(t) = A - mg/k t + m²g/k²(1-exp(-kt/m))
ave A constante d'intégration
mais le hauteur initiale vaut h(0)=h0 -> h0=A
donc h(t) = h0 - mg/k t + m²g/k²(1-exp(-kt/m))
ou avec les valeurs numériques données
h(t) = 100 - 3,2 t + 1,024(1-exp(-3,125t))
bonsoir, alor ya pa kelkun pour médé pour cette kestion é celle ki reste je commence a peine a comprendre si vou pouvié continuer a médé svp ca seré gentil merci
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