Niveau terminale

expression majorée

Posté par
java 28-01-17 à 18:03

Bonjour,
Je ne sais pas répondre à une question ( un vrai/ faux) pouvez-vous m' aider ?
Il faut que je dise si  vrai ou faux) :
la question  est :

Lorsque $\frac{1}{e}\leq x\leq e$ l' expression $ln(x)+\frac{1}{x}$ est majoré par $e-1$

Je ne sais pas comment m' y prendre ,  je me doute qu' il faut obtenir un certain : $ln(x)+\frac{1}{x}\leq e-1$ a la fin mais je n' arrive pas a ca .. J' ai aussi dérivé l' expression mais je ne pense pas que ce soit la solution ..
Avez vous des pistes ?
Merci

Posté par re : expression majorée 28-01-17 à 18:15

bonjour
nous avons un souci avec le Ltx (un serveur en panne)
réécris ton énoncé sans utiliser le Ltx
merci,

Posté par re : expression majorée 30-01-17 à 14:19

Personne ?

Posté par re : expression majorée 30-01-17 à 14:30

Bonjour,

Es-tu sûre de ton énoncé ? La majoration serait plutôt $e +1$ , à moins que ce soit $ln(x) - \dfrac{1}{x}$ ?

La fonction logarithme est strictement croissante (donc monotone) sur son ensemble de définition. De ce fait, si $a < b$ alors $ln(a) < ln(b)$ pour a et b strictement positifs.

Ici,

$\dfrac{1}{e} < x < e$ alors $e >\dfrac{1}{ x} > \dfrac{1}{e}$

$ln\left(\dfrac{1}{e}\right) < ln(x) < ln(e)$

Sachant que :

$ln\left(\dfrac{1}{e}\right)=ln(e^{-1})=-1$

$ln(e) = 1$

Donc :

$ln\left(\dfrac{1}{e}\right) < ln(x) < ln(e)$ revient à : $-1 < ln(x) < 1$

Il ne te reste plus qu'à additionner les deux inéquations :

$-1 < ln(x) < 1$
$\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{x} < e$

$\dfrac{1}{e} - 1 < ln(x) + \dfrac{1}{x} < e + 1$

Posté par re : expression majorée 30-01-17 à 14:36

le plus simple est d'étudier la fonction ln x + 1/x entre 1/e et e
la dérivée f'(x) = 1/x-1/x² = (x-1)/x² négative entre 1/e et 1 et positive après
donc f est décroissante jusqu'à un minimum obtenu pour x=1 et croissante après
le maximum ne peut donc être que f(1/e) = -1+e et f(e) = 1+1/e
le plus grand c'est -1+e donc f(x) < e-1

il faut toujours mieux vérifier dans geogebra
expression majorée
j'ai dessiné la fonction entre 1/e et e et la droite horizontale y = e-1
on voit bien que la fonction est majorée sur l'intervalle.

Posté par re : expression majorée 31-01-17 à 20:56

En effet du coup c' est vrai qu' il fallait répondre , merci de vos explications. J' avais du mal a voir tout ça mais oui j' ai compris votre raisonnement ! merci de vos aides !!

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