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Exprimer Un en fonction de n
Bonjour à tous,
"Soir la suite Un définie par U0=2 et pour tout entier n≥1, Un=Un-1+4n+1. Exprimer Un en fonction de n. (Par conjecture puis démonstration du résultat)."
J'ai d'abord calculé les premiers termes afin de trouver une conjecture
U0=2
U1=7
U2=16
U3=29
Je n'arrive pas à exprimer Un en fonction de n.
Je peux juste écrire que Un=U0+4n+1
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance 
Bonjour à tous,
"Soit la suite Un définie par U0=2 et pour tout entier n≥1, Un=Un-1+4n+1. Exprimer Un en fonction de n. (Par conjecture puis démonstration du résultat)."
J'ai d'abord calculé les premiers termes afin de trouver une conjecture
U0=2
U1=7
U2=16
U3=29
Je n'arrive pas à exprimer Un en fonction de n.
Je peux juste écrire que Un=U0+4n+1
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance
alb12
ok conjecturer me parait difficile
C'est ce qu'on nous demande de faire. Après peut être que mon prof a fait une erreur dans son énoncé... Mais j'ai beau chercher et chercher je ne trouve pas 🤷. J'ai conjecturé avec Un=U0+4n+1 et j'arrive à le démontrer par le principe de raisonnement par récurrence.
Essaye de chercher une expression du second degré en n (pourquoi du second degré ? parce que si tu dessines les points tu vois qu'il sont sur une parabole)
tu dois trouver f(n)= 2n²+3n+2
Essaye de chercher une expression du second degré en n (pourquoi du second degré ? parce que si tu dessines les points tu vois qu'il sont sur une parabole)
tu dois trouver f(n)= 2n²+3n+2
Merci , mais comment écrire que ça correspond à 2n2+3n+2 ?
Je dois développer quelque chose ? 🤔
non ça c'est le résultat. Mais il ne sort pas d'un chapeau (je n'aurais pas dû te le donner) il faut que tu le trouves.
Comment ?
on posant f(n) = an²+bn+c et en remplaçant n par 1;2;3 ce qui va te donner des équations en a;b;c.
un fois trouvés a;b;c tu vérifies que la formule continue à marcher pour n=4;5 et là tu peux décemment poser la conjecture que la formule est correcte.
Restera à la démontrer par récurrence.
non ça c'est le résultat. Mais il ne sort pas d'un chapeau (je n'aurais pas dû te le donner) il faut que tu le trouves.
Comment ?
on posant f(n) = an²+bn+c et en remplaçant n par 1;2;3 ce qui va te donner des équations en a;b;c.
un fois trouvés a;b;c tu vérifies que la formule continue à marcher pour n=4;5 et là tu peux décemment poser la conjecture que la formule est correcte.
Restera à la démontrer par récurrence.
Je ne comptais pas servir cette formule sur un plateau d'argent sans explication.
Ça fait f(1)=a1²+b*2+c
F(2)...
F(3)...
On ne sait pas résoudre ce genre d'équations , ou en tout cas , je ne vois pas. Je vais essayer de le résoudre.
écris déjà les 3 équations.
Bien sûr que si on sait résoudre ça en Terminale.
(méthode par substitution ? méthode par combinaison de lignes ? ça ne te dit rien ces méthodes ?)
écris déjà les 3 équations.
Bien sûr que si on sait résoudre ça en Terminale.
(méthode par substitution ? méthode par combinaison de lignes ? ça ne te dit rien ces méthodes ?)
Si je les ai déjà utilisé ces méthodes. J'ai trouvé le c grâce au f(0) .
Je vais essayer pour trouver a et b.
J'ai réussi par substitution et on obtient bien a=2; b=3 et c=2.
Plus qu'à faire par principe de récurrence, merci
Je rencontre un problème pour l'hérédité .
On suppose que la propriété est vraie à un rang n fixé avec n≥1 et on démontre que c'est vraie au rang suivant:
On a Un+1=Un+4n+1
Par hypothèse de récurrence
on a Un= 2n^²+3n+2
Donc Un+1= 2n²+3n+2+4n+1
Un+1=2n²+7n+3
Est-ce que suffit pour prouver que la propriété est vraie au rang n+1 ?
Je pose la question car quand je fais
Un+1=2*(n+1)²+3*(n+1)+2
Ça fait 2n²+7n+7 ...
On obtient pas la même chose...
il serait tout de meme plus malin de trouver u(n) en ecrivant
u(1)-u(0)=4*1+1
u(2)-u(1)=4*2+1
u(3)-u(2)=4*3+1
...
u(n)-u(n-1)=4*n+1
puis en ajoutant le tout
il serait tout de meme plus malin de trouver u(n) en ecrivant
u(1)-u(0)=4*1+1
u(2)-u(1)=4*2+1
u(3)-u(2)=4*3+1
...
u(n)-u(n-1)=4*n+1
puis en ajoutant le tout
C'est a dire ? Je vois pas comment vous voulez faire 🤔
Effectivement la méthode de alb12 est une très bonne idée.
Juste pour terminer la récurrence sur la formule un= 2n²+3n+2
un+1=Un + 4(n+1)+1 = 2n²+3n+2 + 4n+5 = 2n²+7n+7
et on vérifie que c'est bien aussi 2(n+1)²+3(n+1)+2 = 2(n²+2n+1) + 3n + 5 = 2n²+7n+7
ça colle parfaitement et donc la formule est bien encore vérifiée pour n+1.
Maintenant la méthode alb12 :
tu ajoutes membre à membre toutes ces égalités. A gauche tout se simplifie et il reste
un-u0 = 4(1+2+...+n) + n
ce qui donne un = 4n(n+1)/2 + n + 2 = 2n² + 3n+ 2
Effectivement la méthode de alb12 est une très bonne idée.
Juste pour terminer la récurrence sur la formule un= 2n²+3n+2
un+1=Un + 4(n+1)+1 = 2n²+3n+2 + 4n+5 = 2n²+7n+7
et on vérifie que c'est bien aussi 2(n+1)²+3(n+1)+2 = 2(n²+2n+1) + 3n + 5 = 2n²+7n+7
ça colle parfaitement et donc la formule est bien encore vérifiée pour n+1.
Maintenant la méthode alb12 :
tu ajoutes membre à membre toutes ces égalités. A gauche tout se simplifie et il reste
un-u0 = 4(1+2+...+n) + n
ce qui donne un = 4n(n+1)/2 + n + 2 = 2n² + 3n+ 2
Merci !
Mais je ne comprends pas à partir de
Un-U0=4(1+2+...+n)+n 🤔
formule de premiere 1+2+...+n=???
Je la connais bien évidemment celle ci.
J'aurais dû préciser... Veuillez m'excuser, c'est ce qui est après cette formule le n+2
Merci en tout cas pour votre aide précieuse.
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