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|f'(x)|<k

Posté par
Nijiro 25-12-20 à 13:17

Bonjour,
On considère la fonction f définie sur [0;1] par:
f(x)=\frac{1}{4} tan(\frac{1}{x+1})
1. Montrer que f est dérivable sur [0;1] (déjà montré) et que:
(x[0;1]) |f'(x)|<\frac{1}{4cos^2(1)}
2. Montrer qu'il existe un unique réel ]0;1[ tel que: f()= (TVI)
3. On considère la suite numérique  (un) définie par:
\begin{cases} u_0\in ]0;1[-\{\alpha \} \\ u_{n+1}=f(u_n) \end{cases}
a) Montrer que pour tout n :
|u_n-\alpha |<(\frac{1}{4cos^2(1)})^n|u_0-\alpha | (Inégalité des accroissements finis + récurrence)
b)En déduire que (un) est convergente en précisant sa limite. (lim un=)

Le fait est que je ne peux pas démontrer que (x[0;1])  |f'(x)|<\frac{1}{4cos^2(1)}
En effet, f'(x)= \frac{-1}{4(x+x)^2 cos^2(\frac{1}{x+1})}
donc: |f'(x)|= \frac{1}{4(x+x)^2 cos^2(\frac{1}{x+1})}
A l'aide de l'encadrement, j'obtiens:
\frac{1}{16cos^2(1)}<|f'(x)|<\frac{1}{4cos^2 (\frac{1}{2})}
Et ce n'ai pas du tout le résultat souhaité...
Merci d'avance.

Posté par
Nijirore : |f'(x)|<k 25-12-20 à 14:05

Une petite erreur dans l'expression de f'(x):
f'(x)=\frac{-1}{4(x+1)^2 cos^2(\frac{1}{x+1})}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : |f'(x)| 25-12-20 à 14:38

Bonjour,
Tu parles d'un encadrement, lequel ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : |f'(x)| 25-12-20 à 14:42

Quel est le sens de variation de la fonction cosinus sur [0;1] ?

Posté par
Nijirore : |f'(x)|<k 25-12-20 à 15:22

Elle est décroissante sur [0;1].

Posté par
Nijirore : |f'(x)|<k 25-12-20 à 15:24

Et bien c'est résolu! Je n'ai pas fait attention à la monotonie de xcos(x) ^_^''  Merci Sylvieg ^^!!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : |f'(x)| 25-12-20 à 15:33

De rien et joyeux Noël


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