Bonjour à tous, j'ai un petit problème avec cet exercice de maths...
Votre aide est la bienvenue!
Les fonctions de la forme f(x) = k*ln(x) transforment les produits en sommes. On peut se demander s'il y en a d'autres.
Soit f une fonction définie et dérivable sur R, vérifiant pour tous nombres x et y la relation [E] : f(xy)=f(x)+f(y)
1) Démontrer que, si f(0) existe, alors f est la fonction nulle.
2) On écarte ce cas désormais, et on cherche f définie et dérivable sur ]0; +∞[ vérifiant la relation [E].
a) Démontrer que nécessairement f(1)=0
b) En supposant x>0 fixé et y>0 variable, démontrer que xf'(xy)=f'(y)
En déduire que, pour tout nombre x>0, xf'(x) = f'(1)
3) On pose f'(1) = k
a) Démontrer que, pour tout x appartient à ]0; +∞[, f'(x) = k/x
b) Démontrer que f est la fonction f(x) = k*ln(x)
4) Conclure
Voila voila, merci beaucoup!
J'ai déjà trouvé la 3)a) et 3)b) mais je ne suis pas sûre pour les autres!
Merci!
Aroush
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