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f(xy) = f(x) + f(y) et avec ln
Il s'agit de chercher toutes les fonctions définies et dérivable sur ]0;+infini[ transformant les produits en sommes, c'est à dire telles que pour tous réels x et y strictement positifs: f(xy) = f(x)+f(y)
1. Supposons qu'il éxiste une telle fonction
a) Montrer que f(1)=0
b) On considère que x est fixé et on définit sur ]0;+inf[ la fonction g de la variable y par g(y) = f(xy) = f(x) + f(y).
Démontrer que g est dérivable sur ]0; +inf[ et que pout tout réel y>0, xf'(xy) = f'(y).
c) En déduire que pour tout x>0, f'(x)= f'(1)/x = k/x en posant f'(1)=k
d) h est la fonction définie sur ]0;+inf[ par h(x) = f(x) - k ln x. Montrer que h est constante sur ]0; +inf[; puis en déduire que f est définie sur ]0;+inf[ par: f(x) = k ln x.
2. Réciproquement, montrer que toute fonction f k((k est en bas en indice)) définie ]0;+inf[ par f k (x)= k ln x, où k désigne un réel quelconque, répond au problème initial. Conclure
la FAQ du forum
remercier la personne
salut
soit la propriete P : "pour tous réels x et y strictement positifs: f(xy) = f(x)+f(y)"
1a) soit x > 0
f(x)=f(x*1)=f(x)+f(1) d'apres P.
donc f(x)=f(x)+f(1)
et f(1)=0
b) g est derivable ]0,+oo[ puisque f est derivable sur ]0,+oo[
on a f(xy)=f(x)+f(y) on derive par rapport a y ;
x*f'(xy)=f'(y). puisque x fixe independant de y (x se comporte comme une constante)
c) on prend y=1 => d'apres b) x*f'(x)=f'(1) donc f'(x)=f'(1)/x
d) h(x) = f(x) - k ln(x)
h est derivable sur ]0,+oo[ puisque f et ln le sont.
donc h'(x)=f'(x)-k/x = k/x-k/x=0
donc h est constante sur ]0,+oo[
h(x)=h(1) pour tout x dans ]0,+oo[ et h(1)=f(1)-k*ln(1)=0-k*0=0
donc pour tout x dans ]0,+oo[ h(x)=0
donc f(x)=k*ln(x), x dans R*+.
2.soit f k (x) = k*ln(x) k reel x dans R+*.
soient x > 0 et y>0
on fait f k (x) + f k (y) = k*ln(x) + k*ln(y) = k*[ln(x)+ln(y)]=k*ln(x*y)=f k (x*y)
conclusion soit E l'ensemble des fonctions telles qu'elles verifient P.
soit F l'ensemble des fonctions de la forme f k .
la question 1 a montre que E est inclus dans F.
la question 2 a montre que F est inclus dans E.
=> E=F.
les fonctions verifiant P sont les fonctions f k definies dans la question 2.
Bonjour Néo,
Prenons la différentielle totale de f : df(xy)=x
f/y.dy+yf/yx.dx=f/x.dx+f/y.dy .D'où yf/x=f/x ou y=1 >>> de même x=1.
Si xy=1 on aura f(1)=f(1)+f(1) >>> f(1)=0. OK? Bye.
Il y a eu un y intempestif en dénominateur de la 2ème dérivée partielle , c'est difficile de manipuler les avec ce logiciel! j'abandonne.
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