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Factorielle

Posté par cedric (invité) 11-11-05 à 11:44

Bonjour tout le monde,
j'aurais besoin d'un petit coup de main pour cette partie d'un énoncé de mathématiques qui me pose de gros problèmes, je n'avance pas, en particulier pour la récurrence du début:

1.Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.
a.Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à k:
\frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}

b.En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à k:
\frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}

c.Montrer que:
\lim_{n\to +\infty}\frac{x^n}{n!}=0

2.Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2:
\frac{n^{n-1}}{n!}\ge1
(On pourra écrire \frac{n^{n-1}}{n!} comme un produit de n-1 facteurs supérieurs ou égaux à 1).
En déduire que:
\lim_{n\to +\infty}\frac{n^n}{n!}=+\infty

Merci beaucoup d'avance de votre aide.

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 11:56

Bonjour,

\rm (P_n):\frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}

\rm (P_k):\frac{k^n}{n!}=\frac{k^k}{k!} et \rm \frac{k^k}{k!}=\frac{k^k}{k!} donc \frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!} vrai (attention le rang initial est n=k)

\rm (P_{n+1}):\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}

hypothese de reccurence
\rm \frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}

\rm \frac{k^n}{n!}\times\frac{k}{n+1}\le\frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}

\rm \frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}


On a :
\rm \frac{1}{n+1}\le 1

\rm \frac{k}{n+1}\le k

Or :
\rm 1<k

Donc :
\rm \frac{k}{n+1}\le 1

Soit :
\rm \frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}\le \frac{k^k}{k!}

De :
\rm \frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}

On déduit alors que :
\rm \frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}

Donc \rm (P_{n+1}) vrai.


Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 12:00

Ensuite je viens de démontrer par récurrence que :
   \rm \blue \frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}
Soit :
   \rm \frac{x^n}{x^n}\times\frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}
Donc :
   \rm \frac{x^n}{n!}\times\frac{k^n}{x^n}\le\frac{k^k}{k!}
Ce que l'on peut encore écrire :
   \rm \frac{x^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}\times\frac{x^n}{k^n}
D'ou :
   \rm \magenta\frac{x^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}\times(\frac{x}{k})^n

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 12:07

Ensuite tu peut poser \rm (U_n)n la suite telle que \rm U_n=(\frac{x}{k})^n ;
Il s'agit d'une suite géométrique de raison \rm \frac{x}{k} et l'on a 0\le\frac{x}{k}\le1 d'ou \rm\lim_{n\to+\infty} U_n=0

Donc par passage a la limite tu peut, comme \rm 0\le\frac{x^n}{n!} en posant \rm (V_n)n la suite constante nulle, conclure en utilisant le theorem des gendarmes que \rm\blue\lim_{n\to+\infty} \frac{x^n}{n!}=0

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 12:15

Ensuite tu utilise la recommandation :

   \rm \frac{n^{n-1}}{n!}=\frac{n\times n\times n\times n\times ...\times n\times n}{n\times(n-1)\times(n-2)\times(n-3)\times ... \times 2\times 1}

Ce que tu peut encore ecrire :

   \rm \frac{n^{n-1}}{n!}=\frac{n}{n}\times\frac{n}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n}{n-3}\times...\times\frac{n}{2}\times\frac{n}{1}

Tu peut alors conclure car chacun des ses \rm n-1 facteurs est superieurs ou egales a 1 d'ou \rm \blue \frac{n^{n-1}}{n!}\ge1

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 12:17

oups petite erreur :

au numérateur tu as \rm n-1 facteurs et au dénominateur \rm n facteur donc bien sur que \rm \frac{n^{n-1}}{n!}=\frac{n}{n}\times\frac{n}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n}{n-3}\times...\times\frac{n}{2}\times1

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 12:19

Enfin :
   \frac{n^{n-1}}{n!}\ge1
Soit :
   n\times\frac{n^{n-1}}{n!}\ge1\timesn
Donc :
   \frac{n^{n}}{n!}\ge n

Or \rm \lim_{n+\infty} n=+\infty
Donc \rm \red \fbox{\lim_{n+\infty} \frac{n^{n}}{n!}=+\infty

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 11-11-05 à 12:24


Merci infiniment de votre aide et merci de vous être interessé à mon problème!

Posté par
lyonnaisre : Factorielle 11-11-05 à 12:29

salut :

C'est ce que j'appelle du travail vite fait, bien fait H_aldnoer !

félicitations

romain

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 12:47

Merci Lyonnais

et de rien cedric

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 11-11-05 à 13:45

Il y a juste un passage que je ne comprends pas dans la récurrence lorsqus vous dites que 1 < k et ce que vous en déduisez juste après.
Pouvez-vous m'éclaircir sur ce passage?

Merci...

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 15:53

re,

l'énoncé dit :
"Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x."

donc :
\rm x\ge0

et :
\rm k>x

donc :
\rm k\ge1

par ailleurs :
\rm \frac{1}{n+1}\le1

en multipliant par \rm k :
\rm\frac{k}{n+1}\le k

or :
\rm k\ge1

c'est a dire :
\rm 1\le k

et :
\rm\frac{k}{n+1}\le k

donc :
\rm\frac{k}{n+1}\le 1\le k

soit :
\rm\frac{k}{n+1}\le 1

en multipliant par \rm \frac{k^k}{k!}
\rm\frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}\le\frac{k^k}{k!}\times 1

de l'hypothese de reccurence on a déduit que :
\rm\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}

et donc :
\rm\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}\times\frac{k}{n+1}\le\frac{k^k}{k!}\times 1

d'ou :
\rm\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}\times 1

c'est a dire :
\rm\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\le\frac{k^k}{k!}

ceci montre que \rm (P_{n+1}) est vraie.

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 11-11-05 à 19:19

Merci maintenant j'ai bien compris.
Mais j'ai remarqué autre chose. Un moment vous arrivez à la conclusion suivante:
\frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{k})^n\times{\frac{k^k}{k!}

or, dans l'énoncé, il faut déduire que:
\frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{n})^n\times{\frac{k^k}{k!}

d'où vient l'erreur?

Pouvez-vous m'aider? Merci.

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 20:03

Bonsoir,

c'est vrai mais tu peut partir de ceci :
\rm\frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}

or \rm k\le n donc :
\rm\frac{n^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}

et la tu ré-applique la meme methode en multipliant pas \rm \frac{x^n}{x^n}

@+

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 11-11-05 à 20:26

par la suite au lieu d'utiliser \frac{x}{k},
utilise \frac{x}{n},
car comme \rm 0\le x<k\le n tu as aussi \rm 0\le x\le n soit donc en divisant par \rm n chaque menbre de l'inequation :
\rm \frac{0}{n}\le \frac{x}{n}\le \frac{n}{n}

\rm 0\le \frac{x}{n}\le 1

sauf erreurs

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 12-11-05 à 12:58

D'accord, mais après cela que fait-on du \frac{k^k}{k!}. Je ne comprends pas comment arrive-on a trouver la limite de l'énoncé. Pourriez-vous m'aider?

Merci d'avance.

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 12-11-05 à 13:20

dsl mais il semblerait qu'une partit de l'exercice soit supprimé suite a des problemes dont Tom_Pascal parle ici => Restauration du forum

soit tu recopie l'énoncé
soit tu atten que les messages soit restaurés.

encore dsl mais je ne me souviens plus de l'énoncé !

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 12-11-05 à 15:54

Bon, je vais recopier une partie de l'énoncé alors mais j'espère que cela ne sera pas considéré comme étant un multi-post mais bon vous m'avez autorisé à recopier l'énoncé donc:
Soit x un nombre réel positif ou nul, k un entier strictement supérieur à x et n un entier supérieur ou égal à k.
On a démontré que par la suite que:
\frac{k^n}{n!}\le\frac{k^k}{k!}
et \frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}

Mais maintenant, il faut montrer que:
\lim_{n\to +\infty}\frac{x^n}{n!}=0

Il faut également montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2:
\frac{n^{n-1}}{n!}\ge1
(On pourra écrire \frac{n^{n-1}}{n!} comme un produit de n-1 facteurs supérieurs ou égaux à 1).

Voilà, est-ce que vous pourriez me donner une aide détailler pour ces 2 dernières questions?

Merci d'avance.

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 12-11-05 à 17:25


S'il vous plait..

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 12-11-05 à 19:33

Posté par cedric (invité)re : Factorielle 12-11-05 à 19:33

Posté par
H_aldnoerre : Factorielle 12-11-05 à 20:03

Bonsoir,

je vous ai donner la redaction plus haut sur ces deux dernieres questions non ?

pour l'avant derniere :

Nous venons de montrer que :
   \rm \frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}

Or l'on sait que :
   \rm 0\le\frac{x^n}{n!}

Soit :
   \rm 0\le\frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}

\Longrightarrow Il faut maintenant utiliser le theorem des gendarmes en considérant la suite \rm V_n=0 et \rm U_n=(\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}

On a :
   Factorielle\rm \lim_{n\to+\infty} V_n=0 (évident ... non ?)
   Factorielle\rm \lim_{n\to+\infty} U_n=\lim_{n\to+\infty} (\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}
\Rightarrowdans ce dernier cas il faut bien voir ceci : considérons une autre suite \rm W_n=(\frac{x}{n})^n (donc \rm U_n=W_n\times\frac{k^k}{k!});
\Rightarrowcette suite \rm (W_n)_n n'est autre qu'une suite géométrique de raison \rm \frac{x}{n} (on peut l'ecrire comme suit \rm W_n=(\frac{x}{n})^n=\underb{\frac{x}{n}\times\frac{x}{n}\times...\times\frac{x}{n}}_{\rm n fois});
\Rightarrowdans ce cas, il faut utiliser les propriétés sur les limites d'une telle suite à savoir que si la raison \rm q d'une suite géometrique est comprise entre -1 et 1 (i.e. \rm -1<q<1 attention inégalité strict) alors la limite de la suite \rm (U_n)_n est 0 (i.e. \rm\lim_{n\to +\infty} U_n=0)
\Rightarrowor ici \rm q=\frac{x}{n} et l'on a bien \rm -1<\frac{x}{n}<1 d'ou \rm\lim_{n\to +\infty} W_n=\lim_{n\to +\infty}(\frac{x}{n})^n=0
\Rightarrowde ceci on peut maintenant déduire la limite de la suite \rm U_n=W_n\times\frac{k^k}{k!} : \rm \lim_{n\to+\infty} U_n=\lim_{n\to+\infty} W_n\times\frac{k^k}{k!}=0 (a cause de la limite de \rm (W_n)_n)

Finalement de l'inéquation :
   \rm 0\le\frac{x^n}{n!}\le(\frac{x}{n})^n\times\frac{k^k}{k!}

   \rm V_n\le\frac{x^n}{n!}\le U_n

On peut conclure, du fait que \rm \lim_{n\to+\infty} V_n=0 et que \rm \lim_{n\to+\infty} U_n=0, par le théorem des gendarmes que \rm \lim_{n\to+\infty} \frac{x^n}{n!}=0

voila j'espere que c'est plus clair ainsi... @+


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