Bonjour,


1) Si tu as appris le discriminant, il y a des formules



2) Sinon ... tu passes par la forme canonique. La formule est de ma forme ax² + bx + c avec a non nul.

- Tu factorises le coefficient de x²
6(x² - 7/6 x + 1/3)


- Après c'est l'étape délicate.
Il faut considérer x² - 7/6 x comme le début de a² + 2ab + b²

a² = x²   on peut poser   a = x   (il y a un autre cas mais inutile de l'envisager)

2 a b = 2 x b = 7/6 x = 2 x 7/12
donc b = 7/12

pour que l'identité remarquable soit complète, il manque b² = 49/144 on va le faire "apparaître"... mais sans changer l'expression

Ainsi
6 (x² - 7/6 x + 1/3) = 6 (x² - 2x7/12 + 49/144 - 49/144 + 1/3)
Certes on a compliqué l'expression mais:
- elles sont bien égales
- et x² - 2x7/12 + 49/144 est une identité remarquable

6 (x² - 7/6 x + 1/3) = 6 [ (x - 7/12)² - 49/144 + 1/3 ]
et comme -49/144 + 1/3 = - 1/144 = - (1/12)²

6 (x² - 7/6 x + 1/3) = 6 [ (x - 7/12)² - (1/12)² ]


- Ultime étape ... tu as fait apparaître une différence de deux carrés dans les crochets
6 (x² - 7/6 x + 1/3) = 6 [ (x - 7/12)² - (1/12)² ]
                     = 6(x - 7/12 + 1/12) (x - 7/12 - 1/12)
                     = 6 (x - 1/2) (x - 2/3)


Voir aussi ce topic 0=n²-6n+5 : je veux savoir avant !

Il y a également une toute nouvelle fiche d'hier soir, qui vient de paraitre sur ce sujet :lol

avec le discriminant ca donnerait quoi , ca doit etre plus rapide je suppose car la ya quand meme bcp de bidouillage...

en passant je ne vois pas du tout comment tu calcules que b = 7/12

ah je pense avoir decele une legere erreur dans ton post siok ici : Il faut considérer x² - 7/6 x comme le début de a² + 2ab + b²
je dirai plutot a² - 2ab - b² , non?

bonjour , jai deja poste sur le meme exercice mais jai fait mes propres recherches et cest pas clair , je parle de la forme canonique , jai donc cette expression a factoriser : 6x² - 7x + 2
En utilisant la forme canonique litteralement parlant ca me donne ca :

f(x) = ax² + bx + c = a [(x + b / (2a)) - (b² - 4ac) / (4a²)]

Si je transpose ca me fait :

6[(x-7/12) - ((49 - 48) / 144)]
6[(x-7/12)² - (1/12)²]
Alors la j'applique betement la formule mais je souheterai vraiment approfondir cette expression "a [(x + b / (2a)) - (b² - 4ac) / (4a²)]" , comment en est on arrive a trouver ca , quelle est l'idee de base generale derriere ce type de factorisation et pq nest pas possible de factoriser ax² + bx + c de facon classique quoi avec un facteur commun...?
Merci , tous vos approfondissements seront les bienvenus a condition quils sont comprehensibles par un eleve de mon niveau ( debut de 1ere lol )

*** message déplacé ***

et je vais prendre l'etude de vos cours hehe :

On a : 2x² + 4x - 1
On commence par factoriser par le nombre devant x²


x² + 2x est le début d'une identité remarquable de type (a + b)²
x² + 2x = (x + 1)² - 1
(x + 1)² - 1 = x² + 2 × x × 1 + 1² - 1 = x² + 2x
Donc :
Maintenant a² - b²
D'où : ...

Bon si je l'applique a mon exemple  6x² - 7x + 2

1er etape , je factorise par le nombre dvt x ( ici le 6 ) ca me donne : 6(x² - 7/6x + 1/3)

2eme etape : on remarque que x² - 7/6x est le debut de l'egalite remarquable (a-b)² mais justement quel est le but ensuite , c'est d'obtenir l'egalite remarquable complete? si oui pourquoi? car en fait dans vos cours vous faites un bidouillage a savoir :
x² + 2x = (x + 1)² - 1 , ici comment vous le trouvez votre -1 , car je dois faire une chose similaire avc mon equation , donc literralement a quoi correspond ce moins 1 et a quoi sert il , merci bcp

*** message déplacé ***

Bonjour,

Suite de factorisation

Tu as oublié un carré dans ta formule
f(x) = ax² + bx + c = a [(x + b / (2a))² - (b² - 4ac) / (4a²)]
mais tu le remets bien ensuite: sans doute une faute de frappe.



"comment vous le trouvez votre -1"
x² + 2x = x² + 2 * x * 1
x² + 2x est le début de l'identité (x + 1)²

pour avoir l'identité complète, il manque + 1 on va le faire apparaître mais il faut garantir l'égalité d'où le - 1

x² + 2x = x² + 2x + 1 - 1

il est bien évident que +1 - 1 ne change pas le résultat de l'expression ... si ce n'est que les trois premiers termes forment une identité remarquable

x² + 2x = (x + 1)² - 1

Sur l'exemple complet:
2x² + 4x - 1 = 2[ x² + 2x - 1/2]
             = 2[ x² + 2x + 1 - 1 + 1/2]
             = 2[ (x+1)² - 1/2]
             =

Dans le crochet, on a une différence de deux carrés (c'était le but), on peut factoriser.



"mais justement quel est le but ensuite "
L'idée de base est que toute expression du second degré s'écrit:
- soit comme une différence de deux carrés et on factorise avec a²-b²
- soit comme une somme de deux carrés et la factorisation est impossible en se limitant aux nombres réels.
par exemple: x² + 2x + 5 = (x+1)² + 2²



vous faites un bidouillage
C'est une technique rodée: certes un peu surprenante au début.
Tout le collège, on apprend à simplifier des expressions en les mettant soit sous forme factorisée, soit sous forme développée.
Ici on commence par la compliquée ... un peu déroutant !



possible de factoriser ax² + bx + c de "facon classique"
Tu veux dire comme en collège ? En collège / seconde, les exemples sont construits pour que les élèves y arrivent ! On ne peut pas leur demander de factoriser n'importe quoi.

si tu n'avais que: x² + 2x à factoriser on écrirait x(x+2)
mais ici on a:  x² + 2x - 1/2 et si on faisait x(x+1) on ne pourrait pas enchaîner pour une factorisation complète.



comment en est on arrive a trouver ca
La technique
- factoriser le a
- considérer les termes en x² et en x comme le début d'une identité
- se ramener à une somme ou différence de deux carrés
- utiliser A² - B² pour factoriser dans le cas "différence de deux carrés"
fonctionne toujours

Mais, elle est un lourde à mettre en oeuvre ! D'où l'idée de faire le boulot une fois pour toute.
La formule imbuvale de la forme canonique a été obtenue ainsi.
Pour bien comprendre, essaye de la démontrer.

Heureusement, elle sert surtout à établir les propriétés de cours et un peu avec les fonctions ... en attendant les dérivées.
Après, tu auras de nouvelles formules qui te donnent les racines du polynôms (si elles existent) et du coup directement la factorisation.



"tous vos approfondissements ... comprehensibles par un eleve ...."
Cela me paraît possible ... maintenant beaucoup d'élèves appliquent les formules sans comprendre


*** message déplacé ***

1) Il y a effectivement une erreur, c'est  a² - 2ab + b²



2) Bien entendu, avec le discriminant c'est bien plus rapide ! On a fait ce travail une fois pour toutes.

delta = (-7)² - 4 * 6 * 2 = 1

Comme delta est srictement positif, l'équation a deux solutions (j'applique les formules):
x1 = 8/12 = 2/3
x2 = 6/12 = 1/2

En appliquant le théorème de factorisation du cours:
2 (x - 1/2) (x - 2/3)



3) Comme  2ab = 7/6 x et que  a = x
2 x b = 7/6 x = 2 * 7/12 * x
Dit autrement, la formule exige un 2, je le fais apparaître en remarquant que:  7/6 = 2 * 7/12