Bonjour,

avec le véritable énoncé ce sera mieux d'une part (ton histoire de Bézout etc ???)

et d'autre part quand tu factorises un trinome en a(x-x₁)(x-x₂) rien ne t'empêche de multiplier par a l'un des deux facteurs pour obtenir :
(ax - ax₁)(x-x₂)
et "espérer" ainsi avoir que des nombres entiers partout, ce qui ici fonctionne très bien.

oui il est vrai que j'aurais pu mettre l'énoncé en entier mais j'ai réussis à faire l'exercice finalement

n désigne un nombre entier naturel non nul
a) factoriser n(2n+1)-1
b) trouver le PGCD ne n+1 et de 2n+1 en utilisant le théorème de Bezout

donc

a) n(2n+1)-1 = 2n²+n-1
    recherche du discriminant : =1-42-1=3²
    recherche des racines : n₁=-1 et n₂=0,5
    Donc 2n²+n-1 = 2(n+1)(n-0,5) = (n+1)(2n-1)

b) on sait que : n(2n+1)-1 = (n+1)(2n-1)
               donc : n(2n+1)-(n+1)(2n-1)=1
               (2n+1)n+(-2n+1)(n+1)=1
               soit u=n et v=(-2n+1) avec (u;v)²
              
    on a donc (2n+1)u+v(n+1)=1, et d'après le théorème de Bezout, 2n+1 et n+1 sont premier entre eux

    conclusion : PGCD(2n+1;n+1)=1