Bonjour à tous et à toutes !
Voilà, j'ai un petit DM de Spé Maths pour Jeudi prochain, et j'ai terminé cet après-midi. Il s'agirait juste de vérifier mes résultats, parce que j'ai l'impression d'avoir fait des manip' un peu douteuses...
Alors voilà, il n'y a que 2 petits exercices : Je poste l'énoncé du premier :
" n désigne un entier naturel.
  a) Démontrer que n² + 5n + 4 et n² + 3n + 2 sont divisibles par n + 1.
  b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n² + 15n + 19 est divisible par n + 1.
  c) En déduire que pour tout entier naturel n, 3n² + 15 n +19 n'est pas divisible par n² + 3n + 2."

Voilà mes réponses :
a) n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2) donc divisible par n + 1.
    n² + 5n + 4 = n² + 3n + 2 + 2(n + 1) = (n+1)(n+2) + 2 (n+1) donc divisible par n+1 pour n != 1.
b) 3n²+15n+19 = (n+1)(3n+2) + 5n + 17. Donc r = 5n + 17 or pour que n+1 divise 3n²+15n+19 il faut que le reste soit 0 donc 5n+17=0 donc n = -17/5 : l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1 est S = .
c) Puisque n²+3n+2 est divisible par n+1 et 3n²+15n+19 ne l'est pas, n²+3n+2 ne peut pas diviser 3n²+15n+19 dans : 3n²+15n+19 = 3(n²+3n+2) +6n+13 soit 6n+13 = 0 soit n = - 13/6 donc n²+3n+2 ne divise pas 3n²+15n+19.

Et pour le deuxième exercice :
"n désigne un entier relatif.
a) Développer (n-2)⁴.
b) En déduire que (n-2)⁴ n⁴+n³+n+1 (mod.3)
c) En utilisant les différents restes possibles de la division d'un entier par 3, démontrer que : dire que l'entier n est divisible par 3 équivaut à dire que l'entier n⁴ est divisible par 3.
d) Déterminer les entiers n tels que n⁴+n³+n+1 soit divisible par 3."

Et mes réponses :
a) (n-2)⁴ = (n² - 4n +4)² = n⁴ - 4n³ + 4n² - 4n³ + 16n² - 16n + 4n² - 16n +16 = n⁴ - 8n³ +24n² - 32n +16.
b) Soit (n-2)⁴ - (n⁴ +n³+n+1) est un multiple de 3. Donc n⁴ - 8n³ +24n²-32n+16-n⁴-n³-n-1 est un multiple de 3 et est égal à -9n³ + 24n² - 33n +15 = 3(-3n³ + 8n² - 11n +5) donc (n-2)⁴ est bien congru à n⁴+n³+n+1 modulo 3.
c) Le reste de la division d'un entier par 3 est 0, 1 ou 2. Mais le reste de la division de l'entier n divisible par 3 est 0. Or 0 à la puissance 4 vaut toujours 0. Donc l'entier n⁴ est toujours divisible par 3.
d) Soit n⁴+n³+n+1 0 (mod.3) donc n⁴+n³+n-1 (mod.3) donc n⁴+n³ - n - 1 (mod.3).
Or n⁴+n³ = -n³ (-n-1). Donc cela revient à -n³ divisible par 3.
Or -n³ = (-n)(-n)(-n) donc cela revient à -n divisible par 3. Donc n est un multiple de 3.
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Voilà !