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faire une conjecture

Posté par
malou63 21-09-17 à 14:39

Bonjour,  je bloque sur une une question de mon DM, pourtant je suis sur que la réponse est assez facile: voila l'énoncé : on considère la suite (Un) définie par Uo=1 et, pour tout entier naturel n, Un+1=( (n+1)/(2n+4)Un). on définit la suite Vn par : pour tout entier naturel n, Vn=(n+1)Un.
1) conjecturer l'expression de Vn en fonction de n.
2) Démontrer cette conjecture.
je pensais faire Vn+1 = (n+1) x Un+1 puis remplacer Un+1 par la suite énoncée plus tôt mais après avoir remplacé je me retrouve encore avec un Un et je suis bloquée.

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 14:49

Bonjour
calcule quelques termes, pour voir si tu ne trouves pas quoi conjecturer

Posté par
mathafou Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 14:51

Bonjour,

1) conjecturer ça veut dire observer et émettre une hypothèse

pour faire ça il faut caluler directement les quelques premiers termes pour essayer de deviner (conjecturer = deviner) ce qu'est l'expression demandée

ensuite question 2 il faudra le démontrer

ta méthode est la bonne mais ce Un qui reste il faut l'exprimer en fonction de Vn
Vn = (n+1)Un <==> Un = Vn/(n+1) non ?

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 14:53

de toutes façons, si Vn=(n+1)Un, alors ton expression pour V_{n+1} ne colle pas

V_{\red n} = ({\red n}+1)U_{\red n} \\ V_{\boxed\quad} = ({\boxed \quad} +1)U_{\boxed\quad}

reste à mettre n+1 dans chaque boîte

Posté par
malou63re : faire une conjecture 21-09-17 à 22:05

merci pour votre aide! alors je n'ai toujours pas trouvé de conjecture, j'ai juste une idée c'est Vn+1 = Vn/2 car voici les premier termes de la suite : V0= 1 V1=0.5 V2= 0.25 etc...  mais je ne sais pas comment le démontrer
ensuite pour la question 2 j'ai fait Vn+1 = (n+2)xUn+1 --> Vn+1 = (n+2)x(n+1)/2n+4) Un --> Vn+1 = (n+2)/(n+4) le tout x(n+1)xUn et le résultat est Vn+1=(n+2)/(n+1) xVn et la je suis complètement bloquée a cause de la présence du Vn, je devais conjecturer Vn en fonction de n et je n'y arrive pas sans la présence de n+1 et de Vn si vous pourriez m'aider

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 22:09

et en écrivant les nombres sous forme de fractions ?

V_0 = 1, V_1 = \dfrac12 , V_2= \dfrac 14 = \dfrac{1}{2^2}, tu ne vois toujours rien venir ?

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 22:11

tu t'es trompé.e en simplifiant \dfrac{n+2}{2n+4} ... oubli du 2 du bas

Posté par
malou63re : faire une conjecture 21-09-17 à 22:13

vn = 1/n² c'est ça la conjecture? et je ne sais pas comment je peux le démontrer

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 22:16

elle marche pour n = 0 et n = 1, ta conjecture ? je n'en ai pas l'impression ....
une fois que tu en auras fait une valable, tu la montreras par récurence, tout simplement

Posté par
malou63re : faire une conjecture 21-09-17 à 22:17

ah oui donc ce qui me donne Vn+1 =( n+22n+4) xVn et la je suis bloquée

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 22:29

il te manque le trait de fraction
et ne me dis pas que tu ne sais pas simplifier \dfrac{n+2}{2n+4} alias \dfrac{n+2}{2(\dots)} ?

Posté par
malou63re : faire une conjecture 21-09-17 à 22:41

la conjecture que j'ai trouvée est Vn+1 = 1/2 Vn et je peux la démontrer par ce que je viens de faire et donc avec le résultat Vn+1 = (n+2)/(2n+4) xVn qui en simplifiant devient Vn+1= 1/2 xn+2/n+2 xVn= 1/2 x Vn , je ne trouve pas d'autre conjecture...

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 21-09-17 à 22:52

vraiment ?

V_{\red 0} = 1 = \dfrac 1 {2^{\red 0}} \\ \\ V_{\red 1}= \dfrac 12 = \dfrac{1}{2^{\red 1}} \\ \\ V_{\red 2} = \dfrac 14 = \dfrac 1 {2^{\red 2}}

Posté par
malou63re : faire une conjecture 21-09-17 à 22:58

d'accord, merci, donc la conjecture est 1/2puissance n, mais a ce compte la je ne sais plus du tout comment je vais faire pour le démontrer avec ce que j'ai deja fait

Posté par
lafol Moderateurre : faire une conjecture 22-09-17 à 10:38

pourtant tu as fait le plus dur ! Reprends un peu confiance en toi, ne baisse pas les bras !
si tu remplaces V_n par \dfrac{1}{2^n} dans ce que tu avais déjà calculé, à savoir V_{n+1} = \dfrac 12V_n, ça donne quoi ?


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