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Faire une double récurrence

Posté par
Siria
01-10-16 à 16:23

Bonjour,

Je bloque actuellement sur la dernière question de mon énoncé. Pourriez-vous m'aider à faire aboutir mon calcul ? Merci d'avance 😊

On considère la suite de Fibonacci (Un) definie par U0=0 et U1=1  et pour n , Un+2= Un+1 + Un
Pour n on pose P(n) :
Un =1/√5 * [((1+√5)/2)n - ((1-√5)/2)n

On pose désormais pour tout entier (Pn) :
(Un) et Un+1
Montrer que cette propriété est héréditaire et conclure sur la formule de la suite (Un)

J'ai supposé Pn et Pn+1 vraie , j'ai donc écrit Un+2 sauf que je n'arrive pas à factoriser ce que j'obtiens ( je dois obtenir (1/√5)*[((1+√5)/2)n+2 - (1-√5/2)n+2]

Un+2 = Un+1 - Un
= (1/√5)*[((1+√5)/2)n+ (1+√5)/2 - ((1-√5)/2)n + (1-√5)/2]*[((1+√5)/2)n - ((1-√5)/2)n]
= (1/√5)*[((1+√5)/2)n^2 - ((1-√5)/2)n^2]

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Faire une double récurrence 01-10-16 à 20:00

Bonjour,

U_{n+2} = U_{n+1}+U_n

U_{n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} - \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right] + \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]

U_{n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} + 1 \right) \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} + 1 \right) \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n

U_{n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n

Pour aboutir au résultat demandé, il suffit de montrer que \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} = \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2 et que \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} =  \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^2

Cela ne me semble pas très compliqué.

Nicolas

Posté par
Siria
re : Faire une double récurrence 02-10-16 à 00:24

Bonsoir,

merci de votre aide ♥ mais je ne comprends pas comment le (1+5/2 ) s'est transformé en ((1+5)/2) +1 ?
j'essayerai demain de réécrire tout ça ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Faire une double récurrence 02-10-16 à 09:28

Sépare bien les termes en \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} des termes en \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} puis factorise chacun.

Posté par
Siria
re : Faire une double récurrence 02-10-16 à 15:53

merci j'ai compris le calcul grâce à vous du coup je peux conclure ceci sur la formule de la suite Un :

Chaque terme de la suite (Un) à partir du rang 2 est la somme des deux termes précédents.

?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Faire une double récurrence 02-10-16 à 15:56

Tu ne peux pas le conclure, car c'est donné d'emblée dans l'énoncé.
C'est le point de départ de notre calcul.

On a plutôt montré que la propriété
\mathscr{P}(n) \quad : \quad U_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]
est héréditaire.

Posté par
Siria
re : Faire une double récurrence 02-10-16 à 16:01

oui ça j'ai dis que c'était héréditaire mais dans mon énoncé c'est marqué :
"montrer que cette propriété est héréditaire et conclure sur la formule de la suite (Un) " donc ça signifie que je dois faire plus que de montrer que c'est héréditaire non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Faire une double récurrence 02-10-16 à 16:03

Oui, il faut proposer et démontrer l'expression de Un en fonction de n.

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 18:12

Bonjour


Je n'ai pas compris comment on est passé de l'étape 1 (ligne 1) à l'étape 2 (ligne 2) dans le message de : Nicolas_75 du 01-10-2016 à 20h00.


Merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 18:15

bonjour
il a pris le 1er terme du 1er crochet et le 1er terme du 2e crochet
et il a mis en facteur le max de ce qui était possible
puis les 2 autres termes restants et idem

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 18:44

Je n'ai pas bien compris, désolé

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 18:46


U_{n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ {\red{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} }}- \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right] + \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left[ {\red{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n}} - \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right]

les deux rouges ensemble
et les deux autres ensuite

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 19:07

Je n'arrive pas à mettre en facteur apres

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 19:14

J'ai mis

Soit A = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
Et B la quantité conjuguée

J'en suis à u_n+2=1/5(1A^{n+1}+A^{n})+  1/5(-B^{n+1}-B^n)

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 19:35

An+1=An*A
non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 19:53

( merci Malou )

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 20:01

je te repasse la main bien sûr !
Bonne soirée

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 20:04

Pas du tout, malou. Je me suis un peu éloigné, mais reçois encore les notifications. Je suis toujours heureux de revenir faire un tour. Tu as la main.

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 20:08

Oui mais cela ne m'avance a rien

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 20:14

Là j'ai

u_n+2 = 1/5 (A^{n} × A + A^n + 1/5  (-B^{n} × B - B^{n})

Soit u_n+2= 1/5 (A(A^{n}+A{n-1})) + 1/5 (B(-B^{n}-B^{n-1}))

Et après on ne peut rien faire ...

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 20:17

Vu que je ne suis pas l'auteur de la page, le dossier reste bleu par contre ^^

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 20:58

faudrait peut-être mettre tout ce qu'on peut en facteur

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 21:07

On  a :

1/\sqrt{5} × (A(A^{n}+A^{n-1})+B(-B^{n}-B^{n-1}))

Toujours rien...

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 21:11

dis moi, si tu as x²+x³, tu ne mets que x en facteur ? ....

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 21:27

oui

x^2(1+x)

Ou

x(x^2+x)

Ou

x^3(1+x^-1)

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 21:27

Je suis perdu

Posté par
malou Webmaster
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 21:41

dans x²+x³, on mets x² en facteur
dans x^n et x^(n+1), on mets x^n en facteur !

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 22:01

Donc

On a

1/5 × (A^n(A+1)+B^n(-B-1)

C'est ca ?

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 22:01

Edit: Il manque une parenthèse à la fin.

Posté par
Pirho
re : Faire une double récurrence 15-08-20 à 22:06

Bonsoir,

soit \dfrac{1}{\sqrt{5}}[A\,^n(A+1)-B\,^n(B+1)]

Posté par
yns91
re : Faire une double récurrence 16-08-20 à 11:04

Merci j'ai réussi hier soir la double récurrence (avant le msg de Pirho qui confirmait ma reponse)
Bonne jourée



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