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Famille de vecteur algèbre linéaire
Bonjour, je suis actuellement en réflexion sur cette exercice d'algèbre linéaire :
On pose P0(X) = 1 et pour tout k ∈ N* : Pk(X) = X(X-1)(X-2)...(X-k+1).
Montrer que pour tout n ∈ N, la famille (P0,P1,...,Pn) est une base de Rn[X]
Je ne sais pas trop comment m'y prendre. Dois-je faire une récurrence ou y'a t'il un moyen plus simple ?
Merci d'avance de votre aide.
Bonjour,
As-tu un résultat de ce tyle dans ton cours
"Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré est libre"
?
Sinon, tu peux regarder à la main une combinaison linéaire de ces vecteurs de cette famille et travailler sur le degré.
Merci
Toutes famille de polynômes non nuls et de degré distincts est libre. Cette phrase est écrite dans mon cours effectivement.
Je dois donc m'intéressé au degré des polynômes ?
Cordialement
salut
tu dois bien savoir que deg (PQ) = deg (P) + deg(Q)
ce qui te permet de donner immédiatement le degré des polynomes P_k ...
Salut, oui en effet. Par exemple pour k = 3 ce sera P3(X) = X(X-1)(X-2)-> deg = 3. Cette famille de polynôme est échelonné en degré, on peut donc dire que c'est une famille libre donc c'est une base de Rn[X]. Est-ce bien ça ?
Merci
Pk(X) = X(X-1)(X-2)...(X-k+1)
J'ai du mal a comprendre ce Pk(X) nous sommes d'accord que deg(Pk)=k ?
Voila ce que j'ai fais, si quelqu'un peut me dire si c'est correct et si c'est ce qu'on attend, cela m'aiderai.
On remarque que deg(Pk)=k
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0.
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Donc λn=0.
Sachant λn=0, le même raisonnement donne λn−1=0 et ainsi de suite λn−2=…=λ0=0.
La famille (P0,…,Pn) est une famille libre.
Je dois maintenant conclure que c'est une base. Que dois-je dire ?
Merci d'avance...
tu viens de montrer à nouveau (d'une autre façon) que la famille est libre !! mais
il manque un dernier argument pour en déduire que c'est une base
ton cours te donnera la réponse ...
ahhh dans mon cas je peux dire que c'est une famille libre de n + 1 éléments qui est égal à la dim de Rn[X]. ?
Oui. Une famille de m vecteurs linéairement indépendants engendre un espace vectoriel
de dimension m.
Donc le sev de engendré par tes
polynômes est de dimension
.
... inclusion + égalité des dimensions ...
Non
Si E est de dimension n, combien d'éléments une base de E possède-t-elle ?
c'est évidemment bien plus compliqué que de raisonner en terme de dimension !
Mais du coup cette justification suffit : c'est une famille libre de n + 1 éléments qui est égal à la dim de Rn[X]. ou je dois quand même montrer qu'elle est génératrice ?
ben non c'est suffisant
toute famille libre de p vecteurs engendre un ev de dimension p
si p = n + 1 c'est alors l'espace entier ...
Bonjour, dernière petite question...
Je ne comprend pas bien pourquoi ceci est exclu :
deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Si quelqu'un peut m'expliquer cette partie, merci d'avance.
Bonne journée
ben si c'est bon mais
tu viens de montrer à nouveau (d'une autre façon) que la famille est libre !!
Oui oui je sais quelqu'un ma montrer cette façon que je préfère mais je ne comprend pas bien la fin :
"Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Ceci est exclu donc λn=0."
je ne comprends pas cette dernière phrase ... n'oublie pas que
On remarque que deg(Pk)=k
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0. donc ces deux polynomes ont même degré
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Donc λn=0.
Sachant λn=0, le même raisonnement donne λn−1=0 et ainsi de suite λn−2=…=λ0=0.
La famille (P0,…,Pn) est une famille libre.
je ne comprends pas cette dernière phrase ... n'oublie pas que
On remarque que deg(Pk)=k
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0. donc ces deux polynomes ont même degré
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n = deg (0)
je pose les questions !! 
à toi d'y répondre (avec ton cours éventuellement ... et c'est une façon et l'objectif de te le faire apprendre!! )
Bonjour,
J'ai maintenant compris cette partie sauf que je ne parviens tjrs pas a comprendre pourquoi on peut donc dire que λn=0
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0.
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Donc λn=0.
SI quelqu'un peut m'éclairer sur ça et ce sera terminé. Merci pour l'aide
On remarque que deg(Pk)=k
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0.
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Ce qui est exclu donc λn=0.
Sachant λn=0, le même raisonnement donne λn−1=0 et ainsi de suite λn−2=…=λ0=0.
La famille (P0,…,Pn) est une famille libre.
J'ai ça comme raisonnement pour montrer que la famille est libre, mais je ne sais pas justifié la phrase en rouge
Je n'ai même pas besoin de montrer cela car d'après le cours on sait que : Toutes famille de polynômes non nuls et de degré distincts est libre.
Correct ?
Je pensais que tu demandais des précisions sur:
Bonjour,
J'ai maintenant compris cette partie sauf que je ne parviens tjrs pas a comprendre pourquoi on peut donc dire que λn=0
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0.
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Donc λn=0.
SI quelqu'un peut m'éclairer sur ça et ce sera terminé. Merci pour l'aide
Si tout est clair pour toi maintenant, c'est parfait.
Merci
Ok c'est très bien. Cette justification du cours est donc suffisante. Pas besoin de le montrer a la main.
Merci pour l'aide 
Bonne journée
A mon avis c'est pas clair du tout 
Supposons λ0P0+⋯+λnPn=0.
Si λn≠0 alors deg(λ0P0+⋯+λnPn)=n car deg(λ0P0+⋯+λn−1Pn−1)≤n−1 et deg(λnPn)=n
Donc λn=0.
SI quelqu'un peut m'éclairer sur ça et ce sera terminé. Merci pour l'aide
Ceci est une démonstration par l'absurde. Si
Tant que j'y suis voici une preuve de la liberté de la famille
Soient
Or,
On note que
* Pour
* Pour
* ...
...
...
...
* Et enfin, pour
Conclusion:
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