Bonjour,

Tu peux essayer de trouver une sous-famille génératrice.
Tu prends un vecteur quelconque de l'espace en question et tu vérifies qu'il est combinaison linéaire des vecteurs de ta famille.
Tu peux montrer que le rang de la famille est égal à la dimension de l'espace.
Si l'espace en question est F, tu montres que c'est l'image d'une famille génératrice de E par l'application linéaire surjective u de E dans F.

Enfin bon il est très rare d'avoir à montrer que la famille est génératrice. On demande souvent de montrer que c'est une base et pour cela on montre que la famille est libre et on conclut avec la dimension

ex si on a 3 vecteurs A(1,0,1), B(-1,-1,2) et C(-2,1,-2)
Pour m.q. a,b,c forme une bas il faut :

1) m.q. la famille {A,B,C} est libre
2) m.q. famille {A,B,C} est génératrice

Pour 1) Soit (u,v,w) ³ t.q. u*A + v*B + w*C = 0

m.q. u = v = w = 0

u -  v - 2w =0
  -  v +  w =0
u + 2v - 2w =0

Donc de ce système on trouve que u = v = w = 0 Donc la famille est libre

Pour 2) ???

Il n'est pas nécessaire de montrer que la famille est génératrice, on le fait d'ailleurs jamais. R^3 étant de dimension 3 une base est constitué de 3 vecteurs. Une famille libre de 3 vecteurs est donc une base de R^3

Shadyfj

Merci pour tes explications
Je savais pas qu'on peut utilisé la dimension. Je suis d'accord que souvent on utilise la famille génératrce pour montrer que les vecteurs formes une base

et si on a des vecteurs qui formes une famille libre mais on peut les avoir(engendré) à partir des autre vecteurs ?

Je n'ai pas compris ta question.

je veux dire qu'il peut avoir des veceurs (de R^3) qui sont libre mais à partir lesquels on ne peut pas avoir tous les autre vecteurs.

Ba à partir du moment ou une famille est libre et contient le même nombre de vecteurs que la dimension de l'espace en question c'est une base. Donc dans R^3 une famille libre non génératrice est composée d'un ou 2 vecteurs.

C'est compris!
Merci encore une fois.

P.S.

N'oubliez pas me dire si il existe des cas où on ne peut pas utiliser cette méthode.