Bonjour,
suppose que ce n'est pas une famille libre, alors il existe 2 constantes a et b telles que

acos(x)=bsin(x) et donc?

oui d'accord
asinx + bcosx =0 elle est libre pour x=0 on trouve b=0 et pour x=pi/2 on trouve a=0 mais pour les valeurs de x?
merci d'avance

Bonsoir,

Si la famille n'est pas libre, les a et b sont des constantes, donc indépendantes de x.
Tu as montré avec deux valeurs de x bien choisies que de telles constantes ne pouvaient pas exister, donc la famille est libre.

bonjour
d'accord je comprends que ce vous dire mais pour x=pi/6  est ce que dans ce cas a=0 et b=0 ou bien est ce qu'elle est libre?
merci d'avance

Avec x = pi/6, si tu supposes que a.cos(x) + b.sin(x) = 0,
tu trouves effectivement (encore) que a = 0 et b = 0.
Et c'est bien la définition d'une famille libre, non ?

Le fait que la famille soit libre ou non ne dépend pas de x.
Si tu pouvais trouver des constantes a et b telles que asin(x) = bcos(x), alors la famille serait liée.
Tu peux pas, car les couples {a,b} qui vont bien dépendent de x, donc ce ne sont pas des constantes.
La famille est donc libre.

Si tu poses x=pi/6 tu ne peux pas arriver à une contradiction, il faut au moins prendre une deuxième valeur de x.

Il faudrait que tu revois sérieusement la définition de famille libre depuis le temps que ce post dure...

bonjour
oui je comprends ,mais pour x=pi/6 est ce que possible que a=-3/3 et b=1
et pour cela la famille n'est pas libre
expliquer moi clairement s'il vous plait
merci d'avance

Ce qui t'a été dit par 3 personnes est très clair et se retrouve dans ton cours ...
Ne remet pas en cause la clarté des explications.
Il faut ton égalité soit vraie pour TOUT x. C'est ainsi que tu as ta contradiction

L'espace vectoriel ambiant ici est surement F(,).

  Il faut que tu comprennes que pour que 2 éléments d'un espace vectoriel soient liés il faut qu'ils soient proportionnels  (il y a équivalence).

  On est dans un espace de fonctions ici,la question qu'il faut que tu te poses,c'est

     Est ce que sin est proportionnel à cos ?

(En reprenant le raisonnent d'otto),supposons que ces 2 fonctions le soient,alros il existe un réel a tel que:

   x sin (x)=a cos(x)

Je vais  pas re-rentrer dans les calculs mais franchement si c'était vrai ça se saurait non? (ça c'est de l'argument mathématique :p)
ça voudrait dire qu'à chaque fois que tu croises un sin,tu pourrais l remplacer par a cos,pourquoi faire 2 fonctions alors?