Bonjour,
quelqu'un pourrait-il vérifier mon travail ?

La famille (sin(x) ; cos(x) ; sin(2x) ) est-elle libre dans l'espace vectoriel des fonctions de dans ?

Ma réponse est "oui"

je veux montrer que :
si pour x réel, a*sin(x) + b*cos(x) + c*sin(2x) = 0 alors a=b=c=0

dem :
je pose f(x) = a*sin(x) + b*cos(x) + c*sin(2x)
Si pour tout a*sin(x) + b*cos(x) + c*sin(2x) = 0 alors
pour tout x réel, f(x)=0 et en particulier :
f(0) = 0 donc a*0 + b*1 + c*0 = 0 donc b=0
donc f(x) = a*sin(x) + c*sin(2x)
f(/2)=0 donc a*1+c*0=0 donc a=0
donc f(x) = c*sin(2x)
f(/4)=0 donc  c=0

on a donc a=b=c, la famille   (sin(x) ; cos(x) ; sin(2x) ) estdonc libre dans l'espace vectoriel des fonctions de dans