Bonjour,

Je ne comprends pas ton allusion à la formule du binôme pour la question 1. Je crains que ça ne cache une erreur. Peux-tu préciser ?

Pour la question 2, on te suggère sans doute d'utiliser le fait que pour chaque , il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à tel que et pour tout entier entre 0 et différent de , et bien sûr le résultat de la question 1.

Voici ce que j'ai fait pour la question 1:



Après on évalue en 0 et il ne reste seulement le terme d'indice n de la somme;



Donc on a bien le résultat attendu car n parmis n fait 1..

C'est bon?

Pour la définition des polynômes de Lagrange, je la connais mais je ne vois pas comment m'en servir ici.

Non, ce n'est pas bon : s'il ne reste que le terme avec , d'où vient le de ta formule ? Tu as juste

Pour la question 2, une suggestion alternative : montrer que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à , on a .

Mince! Je ne vois pas comment faire alors pour la question 1.. pas de binôme?

Tu n'as pour le moment ce que tu cherches uniquement pour le degré .
Tu connais sûrement une opération linéaire sur les polynômes qui fait baisser leur degré.

Une opération qui fait baisser le degré des polynômes?

Factoriser?

Deriver plutôt non?

En derivant n-p fois

Bonjour, il est egalement possible pour la première question de déveloper avec le binome de Newton puis d'identifier chaque coefficient du polynome qui vaut 0.

Bonjour Fredrck,
Ça voudrait dire qu'on a forcément une somme de terme tous nuls? Je ne suis pas sûr de comprendre?

C'est un polynome qui est nul, tous ses coefficients sont donc nuls

D'accord je vois. Comment le mettre en forme? On n'a pas X^p mais X^n-p ce n'est pas grave?

Ça n'a pas d'importance puisqu'il y a k^p

Donc on a:



On peut sortir les coefficients binomiaux et dire qu'ils sont tous non nuls, et on a bien le résultat voulu, est ce que c'est bon?

Ensuite pour les polynômes de Lagrange si je prend:
P(X)=

Non?

Peux-tu préciser ton idée ?

Pour la question 1 c'est ok GBZM? Il faut bien dériver n-p fois?

Ensuite pour la question 2 je ne sais pas trop je sais juste que les polynômes de Lagrange sont de degrés n-1 et que L_i(X) évalué en k est égale à 1 lorsque i=k et 0 sinon. J'essaie d'exprimer la somme de la question 1 à l'aide d'un polynôme de Lagrange comme ça justement mais je ne suis pas sûr

On peut dériver et évaluer en 0. Fredrck t'a proposé autre chose.
À toi de voir et de rédiger proprement.

Tu es sûr que les polynômes d'interpolation sont de degré n-1 ? Combien as-tu de points d'interpolation ici ?

Oui les polynômes de Lagrange sont bien de degrés n-1 non?
Pour les points d'interpolation je ne sais pas

?

Les polynômes d'interpolation de Lagrange sont de degrés quand on a points d'interpolation. Ici, combien en as-tu ?

Je ne sais pas p peut être

J'aimerais vraiment pouvoir terminer ça ce soir

Là, tu balances n'importe quoi au hasard.

Puisque tu as l'air complètement perdu, je te suggère de réfléchir à ça : en utilisant la question 1, montrer que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à , on a .

Tu pourras ensuite appliquer ça aux polynômes de Lagrange pour les points d'interpolation qui s'imposent : les points . Comment sont définis ces polynômes de Lagrange, au fait ? Quelles propriétés ont-ils ?

Je vous ai dit avant que je ne savais pas ce que représentaient les points d'interpolation..

Les polynômes de Lagrange sont définis pour i [|1,n|] par L_i= avec j différent de i dans le produit.

Ils sont de degrés n-1 et vérifient:
L_i(x_i)=1, L_i(x_k)=0 si ki.


C'est aussi ça que je n'arrive pas à montrer GBZM… je ne comprends pas l'utilité..

Je ne sais pas comment faire pour montrer pour tout polynôme de degrés inférieur ou égal à n. Je pensais à une récurrence mais ça ne marche pas

Les points d'interpolation sont les réels distincts dans ton histoire.

Mais dans l'histoire de l'exercice il y a points d'interpolation qui sont .
Dans cette histoire, combien y a-t-il de polynômes de Lagrange ? Quel est leur degré ? Quelle propriété vérifient-ils ?

Si tu appliques le résultat que je te suggère de démontrer en prenant pour un de ces polynômes de Lagrange, qu'est ce que ça donne (en utilisant la propriété que je te demande d'expliciter) ?

Ah d'accord je vois pour les points d'interpolations.

Il y a donc autant de polynômes de Lagrange que de points d'interpolation dans l'exercice donc n+1. Ils sont de degrés n. Ils vérifient  L_i(k)=0 si ik et 1 sinon.

Je ne sais pas comment démontrer ce résultat.. Je ne peux pas substituer comme je souhaite k^p par un polynôme évalué en k dans la question 1.

Tu as montré que pour tout entier entre et on a .

Est-ce si difficile d'en déduire que pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à on a ?
Comment s'écrit un tel polynôme ?
Avec cette écriture, qu'est-ce que ? Qu'est-ce que ?

Un tel polynôme s'écriait X^p? Ça me paraît étrange.

P(k) serait alors égale à k^p

Je ne sais pas pour la somme des a_kP(k)?

Tu ne sais pas ce qu'est un polynôme de degré inférieur ou égal à et comment on peut l'écrire? Allons allons !

C'est un polynôme de Lagrange? Je ne sais pas soyez plus claire svp

Pff...

P(k)=c₀+c₁k+c₂k²+…+c_nkⁿ




Je ne vois toujours pas le rapport avec la somme de la question 1..

Désolé, c'était bien sûr



que je voulais écrire. Et on a bien

.

Qu'as-tu démontré dans la première question ?

On a montré que quelque soit p entre 0 et n;


Donc on a bien:



Ceci étant vrai en particulier pour les polynômes de Lagrange (car de degrés inférieur ou égaux à n).

Alors:

pour tout i entre 0 et n.

Donc de proche en proche on a:
(pour i=0): a₀=0
(pour i=1): a₁=0
….
(pour i=n): a_n=0


Pas sûr sur la dernière parti de l'explication..

Li(k)=1 si k=i et 0 sinon

Et donc que vaut ?

La somme se réduit à :
ai=0

C'est ça?

À toi de bien recoller les morceaux pour arriver à une argumentation impeccable (qui doit te convaincre toi-même, pour commencer).

Ça m'a très bien convaincu, j'ai bien su comprendre ce qui me paraissait encore flou. Merci beaucoup GBZM!