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Faux déterminants de Vandermonde.

Posté par
betatester 31-10-07 à 14:05

Bonjour à tous,

soit $\varphi$ une fonction croissante de $\mathbb{N}^*$ vers $\mathbb{N}.$
Confirmer ou infirmer que :

$\Large \frac {\det \left((X_i)^{\varphi(j)} \right)_{1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq n}}{\det \left((X_i)^j \right)_{1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq n}}$

est un polynôme symétrique en les variables $X_1, X_2, \ldots, X_n$ dont tous les coefficients sont des entiers naturels.

Posté par re : Faux déterminants de Vandermonde. 31-10-07 à 19:42

Erratum : pour les indices, il faut lire $1 \leq i \leq n; \qquad 0 \leq j \leq n-1.$

Pour illustrer ma question, on a par exemple :

$\displaystyle \Large \frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \\ X^2 & Y^2 & Z^2 \\ \\ X^5 & Y^5 & Z^5 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \\ X & Y & Z \\ \\ X^2 & Y^2 & Z^2 \end{array}\right|} = \sum_{sym.} Y^3Z + 2 \sum_{cyc.} X^2YZ + \sum_{cyc.} Y^2Z^2$

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