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Fibonacci et les suites...

Posté par belette (invité) 27-09-04 à 18:23

Bonsoir,
Pouvez vous m'aider?
Uo=1 et U1= 1      Un +2 = un+1 +Un
Considerons les suites Vn et Wn definies par
Vn= Un+1- ((1+5)/2) Un
Wn= Un+1 - ((1-5)/2)Un
1. Montrer que les suites Vn et Wn sont des suites geometriques que l'ondeterminera
2. Exprimer Vn et Wn en fonction de n. En deduire une expression de Un en fonction de n
3. etudier la limite eventuelle de Un lorsque n tend vers + l'infini.
merci d'avnce

Posté par belette (invité)please 27-09-04 à 19:13

ca serait sympa que quelqu'un me reponde........
merci

Posté par
dad97 Correcteurre : Fibonacci et les suites... 27-09-04 à 19:29

Bonjour belette,

je note a=\frac{1+\sqrt 5}{2} et b=\frac{1-\sqrt 5}{2}

on a alors ab=-1 et a+b=1

Avec ces notations :

Vn=Un+1-aUn
Wn=Un+1-bUn

Question 1 :

Vn+1=Un+2-aUn+1=Un+1+Un-aUn+1=(1-a)Un+1+Un=bUn+1+Un=b(Un+1-\frac{-1}{b}Un)=b(Un+1-aUn)=bVn

Delà tu déduis que (Vn) est une suite géométrique de raison b=\frac{1-\sqrt5}{2}

De la même manière tu peux montrer que (Wn) est une suite géométrique de raison a=\frac{1+\sqrt 5}{2}

Question 2 :

le cours te dit qu'alors Vn=V0bn or V0=U1-aU0=...

de même Wn=W0an or W0=U1-bU0=...

Pour l'expression de Un il te suffit d'exprimer Vn-Wn à l'aide des formules de l'énoncé tu t'aperçois que c'est seulement fonction de Un d'où tu en déduis Un.

Pour la question 3 :

Avec l'expression de Un en fonction de n il te suffit de regarder ce que donne la limite.

Salut

Posté par
Victorre : Fibonacci et les suites... 27-09-04 à 19:30

Bonsoir belette,

Il faut calculer Vn+1 en fonction de Vn.
Vn+1= Un+2- ((1+V5)/2) Un+1
= Un+1+Un- ((1+V5)/2) Un+1
= ((1-V5)/2)Un+1+Un
=((1-V5)/2)(Un+1+(2/(1-V5))Un)
et 2/(1-V5)=2(1+V5)/(1-5)=-(1+V5)/2

donc Vn+1= ((1-V5)/2)Vn
V est géométrique de raison q=(1-V5)/2

A suivre...

Posté par
Victorre : Fibonacci et les suites... 27-09-04 à 19:32

J'ai été vraiment trop lent pour faire les indices...

@+

Posté par
Océane Webmasterre : Fibonacci et les suites... 27-09-04 à 19:32

Bonjour belette

- Question 1 -

v_{n+1} = u_{n+2} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}u_{n+1}
= u_{n+1} + u_n - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}u_{n+1}
= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}u_{n+1} + u_n
= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}(u_{n+1} + \frac{2}{1 - \sqrt{5}}u_n)
= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}(u_{n+1} + \frac{2(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})}u_n)
= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}(u_{n+1} + \frac{2(1 + \sqrt{5})}{- 4}u_n)
= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}(u_{n+1} - \frac{(1 + \sqrt{5})}{2}u_n)
= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}v_n

Donc : la suite (vn) est géométrique de raison \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

La suite arrive ...

Posté par
Océane Webmasterre : Fibonacci et les suites... 27-09-04 à 19:33

Lol et moi donc
Bon bah il n'y aura pas de suite du coup

Posté par
Victorre : Fibonacci et les suites... 27-09-04 à 19:35

C'est vraiment plus joli écrit en latex mais aussi un peu plus lent...


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