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fiche agrégation : endomorphismes remarquables....

Posté par
lolo217 05-11-05 à 15:08

Bonjour,

Pour la première fois j'ai jeté un oeil aux trop rares fiches d'agreg , enfin la seule d'algèbre :

il est écrit que l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace (implicitement euclidien?) a pour matrice la transposée de l'endomrophisme ! (dans une base  B arbitraire)

N'y a--t-il pas un oubli à corriger ?

Merci

Posté par biondo (invité)re : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 15:18

Salut,

???
C'est loin pour moi, mais je ne vosi pas.... Si il s'agit de la fiche que j'ai consultee, alors le titre de la fiche fait reference aux espaces euclidiens, l'en-tete dit que E est un espace vectoriel de dimension finie et muni d'un produit scalaire et d'une norme associee.

Dans ces conditions, la matrice de l'adjoint est la transposee de la matrice de l'endomorphisme (dans une base B)...

il me semble (mais tu me fais douter).

biondo

Posté par
stokastikre : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 16:04

"Dans ces conditions, la matrice de l'adjoint est la transposee de la matrice de l'endomorphisme"

dans une base orthonormée non ?

Posté par
lolo217re : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 16:20

tout à fait il manque l'hypothèse  base orthonormée ! (c'est un coup à rater l'agreg ça)

Posté par biondo (invité)re : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 18:07

Indeed. Au temps pour moi.

heureusement que je ne passe pas l'agreg, donc...


Quand je pense que je savais tout ca sur le bout des doigts il y a encore... pfou... ben je sais plus tiens.


b.

Posté par
stokastikre : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 20:03


Idem biondo... si je m'en suis souvenu cette fois, c'est parce que récemment j'ai réfléchi sur un topic à propos de matrice transposée où je me suis demandé à quoi servait l'hypothèse que la base est orthonormée.

Posté par
lolo217re : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 20:07

est-ce que ça va être corrigé dans la fiche où y-a-il une démarche à effectuer ?

errare humanum est persevare diabolicum

lolum

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fiche agrégation : endomorphismes remarquables.... 05-11-05 à 20:42

Bonjour;
Soit 2$E un espace euclidien de dimension 2$n ( dont on notera par . le produit scalaire ), 3$\scr B=(e_1,..,e_n) une base orthonormée de 2$E et 2$u un endomorphisme de 2$E ( dont on notera 2$u^{*} l'adjoint ).
Si 3$\fbox{M=(m_{ij})_{1\le i,j\le n}=matr_{\scr B}(u)\\M'=(m'_{ij})_{1\le i,j\le n}=matr_{\scr B}(u^{*})} on sait que 3$\fbox{\forall i,j\in\{1,..,n\}\\m_{ij}=u(e_i).e_j=e_i.u^{*}(e_j)=u^{*}(e_j).e_i=m'_{ji}}
Donc dans ce cas on a bien 5$\blue\fbox{M'=\hspace{5}^{t}M}

Attention ce résultat tombe en défaut si 3$\scr B n'est pas orthonormée comme le montre l'exemple suivant:
3$\fbox{E={\mathbb{R}}^2\hspace{5}canonique}3$\fbox{e_1=(1,0)\hspace{5}e_2=(0,1)\\v_1=e_1\hspace{5}v_2=e_1+e_2} 3$\fbox{\scr B_0=(e_1,e_2)\hspace{5}\scr B=(v_1,v_2)}3$\fbox{u\in\scr{L}(E)\\u(e_1)=e_2\hspace{5}u(e_2)=-e_1}
On voit que 3$\fbox{M=matr_{\scr B_0}(u)=\(0\hspace{5}-1\\1\hspace{5}\hspace{5}0\)} donc 3$\fbox{^{t}M=matr_{\scr B_0}(u^{*})=\(\hspace{5}0\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}1\\-1\hspace{5}\hspace{5}0\)} ( 3$\scr B_0 orthonormée )
alors que 3$\fbox{N=matr_{\scr B}(u)=\(-1\hspace{5}-2\\\hspace{5}1\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}1\)} et 3$\fbox{N'=matr_{\scr B}(u^{*})=\(1\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}2\\-1\hspace{5}-1\)} (remarquer que 2$u^{*}=u^{-1} )

Sauf erreurs bien entendu


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