Bonsoir à vous !
Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1. On considère un nombre réel b tel que
0b<a
1) on veut démontrer que
ln(a-b)ln(a+b)ln(a)2
a) 1ere méthode :
i) Démontrer qu'on a
ln(a-b)ln(a-b) = ln(a)2 + ln(1-(b2/a2))+ln(1+(b/a))ln(1-(b/a))
ii) En déduire le résultat attendu.
iii) pour quelle(s) valeur(s) de b a- t-on ln(a-b)ln(a+b)=ln(a)2 justifier
b) 2eme méthode :
On pose h(x) = ln(a-x)ln(a+x) avec
0x<a. Dresser le tableau de variations de h sur [0 ;a[ et conclure.
2) Soit f une fonction numériques à variable réelle définie par l'égalité f(x) = ln(2-x)ln(2+x) tracer dans un repère la courbe (Cf) de f justifier la constitution
Pour la question i
Démontrons que on a
ln(a-b)ln(a-b) = ln(a)2 + ln(1-(b2/a2) + ln(1+(b/a))ln (1-(b/a)).
On a ln2aln(a2-b2/a) + ln(a+b/a)ln(a-b/a)
=> ln(a)2(ln(a2-b2) -2lna ) + (ln(a+b)-ln(a))(ln(a-b)-lna)
=> ln(a)2 + ln(a2-b2) -2ln(a)2ln(a) + ln(a+b)ln(a-b) - ln(a+b)ln(a) -ln(a)ln(a-b) + ln(a)2
=> ln(a)2 + ln(a)ln(a2 -b2) -2ln(a)2 + ln(a-b) - ln(a+b)ln(a) - ln(a)ln(a-b) + ln(a)2
=> ln(a)ln((a-b)(a+b)) + ln(a+b)ln(a-b)-ln(a+b)ln(a) - ln(a)ln(a-b)
=> ln(a)ln(a-b) + ln(a)ln(a+b) + ln(a+b)ln(a-b) - ln(a+b)ln(a) - ln(a)ln(a-b)
= ln(a+b)ln(a-b)
iii) b =0 pour que ln(a-b)ln(a+b) = ln(a)2 car b 0
2) 2eme méthode
On a >1 <=> a[2 ; +
[ avec a =2
On a h(x) = ln(2-x)ln(2+x)
=> h'(x) = (( -2-x)ln(2+x)+(2-x)ln(2+x))/4-x2
h'(x) 0 <=> (-2-x)ln(2+x)+(2-x)ln(2+x)=0 <=> x1 =-1et x2=0
X[-1 ;0] et x
[0 ;2[ h'(x)
0
C'est ln(a-b)ln(a-b) ou ln(a+b)ln(a-b) le premier membre de l'égalité ?
Bonjour,
"C'est ln(a-b)ln(a-b) qu'on demande de démontrer mais lorsque je démontre je trouve ln(a+b)ln(a-b) "
Il me semble que ce soit un ou l'autre, c'est de toutes manières faux.
Essaie par exemple avec a = 2 et b = 1
On trouve le membre de gauche = 0 (dans les 2 cas)
... alors que le membre de droite n'est pas nul (-0,088276055...)
Calculs à refaire bien entendu.
salut
allez !! je me dévoue pour prendre la relève ...
mais il est dommage de ne pas (apprendre à) penser les math pour te rendre compte qu'il y a une coquille comme l'ont relevé les répondeurs et sans avoir l'énoncé
et on multiplie membre à membre ...
ensuite s'il y a une erreur mathématique comme le semble suggérer candide2 alors là tu n'y peux rien ...
mais la deuxième méthode devrait permettre de t'en rendre compte ...
ça ne va pas !!
il ne faut pas donner de valeur à a mais simplement garder a avec la condition a >= 1
le dénominateur est positif et il te reste donc à étudier le numérateur
donc
ouais bon ça n'avance pas ...
@carpediem,
Une piste pour le signe de (a-x)ln(a-x) - (a+x)ln(a+x) :
Utiliser a-x et ln(a+x) positifs.
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