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Fonction

Posté par Profil Fifaliana36 10-08-19 à 18:07

Bonjour,
Soit la fonction définie sur[0;+[ par fn(x)=\frac{x^ne^-^x}{n!}

Partie I
1)Pour n fixé, étudier les variations de fn et dresser un tableau de variation sur [0;+[
2) Pour n2, on note An le pt d'intersection de (Cn) et de (Cn-1) autre que O.
a) déterminer les coordonnées de An
b) étudier le signe de [fn(x)-fn-1(x)] et en déduire la position relative de (Cn) par rapport à (Cn-1)
3) Tracé de (C1) 2 et 3.

Partie II

1)a) Soit (Un)n*) la suite de terme général Un=fn(n). En utilisant les résultats de la 1ere partie, démontrer que la suite (Un) est décroissante
b) La suite est-elle convergente? Justifier
2)a) soit g la fonction définie sur [0;1] par g(t)=ln(1+t)-t+t2/4.
En utilisant les variations de g, démontrer que
ln(1+t)t+t2/4 t[0;1].
b) en déduire quen*.
(1+1/n)ne1-1/4n
3)a) Démontrer que,n*
\frac{U_{n+1}}{U_n}\leq e^{-\frac{1}{4n}}
b) En déduire que
n*-{1}:
U_n\leq e^{-1-\frac{1}{4}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1})}
4) a) montrer quex x>1
On a:ln(x/x-1)1/x-1.
b) En déduire que
n-{0;1}:
\int_{1}^{n}{\frac{dt}{t}}\leq 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}
c)En déduire que pour tout entier n2, on a:
0\leq U_n\leq e^{-1-\frac{1}{4}ln(n)}
en utilisant II-3-b
d) calculer alors limn\frac{n^ne^-^n}{n!}

Partie III

Pour tout entier n>0 et réel a Positif non nul, on pose
I_n(a)=\int_{0}^{a}{\frac{t^ne^-^t}{n!}}dt
1) Calculer I1(a).
2) Encadrer In[sub](a).
3)a) Démontrer quen]0
\frac{1}{n!}\prec \left( \frac{e}{n}\right)^n en utilisant II-1-a
b) déterminer alors une nvlle majoration de I[sub]n(a).
c )Déterminer limnIn(a).
4)a) par une intégration par parties, établir que
n*-{1},
I_n(a)=I_{n-1}(a)- \frac{a^n}{n!}e^-^a.
b) en déduire que
n*-{1},
I_n(a)=1-e^-^a[1+\frac{a}{1!}+\frac{a^2}{2!}+...+\frac{a^n}{n!}]
Cette égalité est-elle valable pour n=1?
c) en déduire quea+
e^a=limn[1+\frac{a}{1!}+\frac{a^2}{2!}+...+\frac{a^n}{n!}]

Voilà notre devoir de révision, c'est un sujet complet.

Pour la partie I.
1)J'ai obtenu que fnest strictement croissante sur [0;n] et décroissante sur]n;+[
et les limites aux bornes sont tous 0.
2)a)On a A_n(n;\frac{n^ne^-^n}{n!}),
b) fn(x)-fn-1(x) est négatif sur [0;n] et positif sur]n;+[

Partie II

1)a) Un=\frac{n^ne^-^n}{n!}
Pour montrer sa monotonie, est-ce que je dois me servir du signe
de
fn(x)-fn-1(x)?
Pourtant ce n'est plus x ici la variable, c'est n. Comment fait-on?

Merci d'avance.

Posté par
larrechre : Fonction 10-08-19 à 18:41

Bonjour,

Je n'aurais pas le temps de suivre bien longtemps.

x peut fort bien prendre des valeurs entières. On doit comparer f_n(n) et f_{n-1}(n-1).

D'après les questions précédentes, on doit savoir comparer f_n(n) et f_n(n-1), puis f_n(n-1) etf_{n-1}(n-1)

Posté par
larrechre : Fonction 11-08-19 à 12:31

Ce que j'ai indiqué hier ne permet pas de conclure.

En fait, il faut comparer f_{n-1}(n-1), f_{n-1}(n) et f_{n}(n)

Ne pas oublier que (C_n) et (C_{n-1}) se coupent au point d'abscisse n  (question I-2a).

Posté par
larrechre : Fonction 12-08-19 à 17:36

Où en es-tu  de ce long exo Fifaliana36?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 12-08-19 à 19:12

Attendez, doncU_{n-1}=f_{n-1}(n-1) et nonU_n_-_1=f_n(n-1)?

Posté par
larrechre : Fonction 12-08-19 à 19:15

Citation :
U_{n-1}=f_{n-1}(n-1)
  Oui

Posté par
larrechre : Fonction 13-08-19 à 10:26

Pour faire simple, les termes de la suite (U_n) sont les ordonnées des points A_1, A_2, ...A_n, ...

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 13-08-19 à 18:20

Ah bon?

Posté par
larrechre : Fonction 13-08-19 à 21:38

Citation :
2)a)On a A_n(n;\frac{n^ne^-^n}{n!})


Or, par définition U_n=f_n(n)=\dfrac{n^ne^-^n}{n!}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 14-08-19 à 08:18

Bonjour,
Je reprends pour le sens de variation de (un) :
un - un-1 = fn(n) - fn-1(n-1)

D'après la partie I 2)a), on a fn(n) = fn-1(n) .

D'où un - un-1 = fn-1(n) - fn-1(n-1)
A partir de là, on peut utiliser le sens de variation de la fonction fn-1 .

Une remarque sur la 1ère question : en 0, ce n'est pas une limite mais une valeur avec f(0) = 0 .
Une autre remarque : Je suppose qu'au début est précisé n entier naturel non nul.

Posté par
larrechre : Fonction 14-08-19 à 08:23

Bonjour,

C'est ce que j'avais essayé de lui faire comprendre le 11 à 12h31. Trop maladroitement sans doute.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 14-08-19 à 18:52

Bien reçu, merci.
Pour montrer la convergence de (Un) maintenant.
(Un) est décroissante. Ma question est est-ce que (Un) est minorée par 0? Car limite x+fn(x)=0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction 14-08-19 à 19:20

Oui, la suite est minorée par 0 .
Il suffit d'écrire l'expression de un en fonction de n , sans f .

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 14-08-19 à 20:44

Ok.
Pour la suite, je m'en sors plutôt bien.
Mais je n'arrive pas à faire sortir l'expression de partie II, question 3)b).

Posté par
larrechre : Fonction 14-08-19 à 22:01

Faire une récurrence en utilisant 3a/

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 15-08-19 à 07:52

D'accord je suis parti du rang n=2 et ça marche. Merci.
Pour la question 4)a) je m'en sors, j'ai pensé à étudier la fonctionln\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1} mais je crois que c'est trop lent et ça fera perdre du temps si c'était le bacc. Alors, y aurait-il une façon plus rapide ?

Posté par
larrechre : Fonction 15-08-19 à 08:42

Il est plus facile de montrer (à moins qu'on ne le sache déjà en tant que résultat du cours) que

\ln(1+u)\leq u, or,

\ln(\dfrac{x}{x-1})= \ln(1+\dfrac{1}{x-1})

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 15-08-19 à 10:25

D'accord, et pour la déduction 4)b) ? Comment qu'on fait ?

Posté par
larrechre : Fonction 15-08-19 à 10:41

Découper l'intervalle d'intégration suivant les intervalles successifs [k ; k+1], k prenant les valeurs entières de 1 à n-1, et majorer chacune des intégrales

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 15-08-19 à 20:05

Merci
Pour la question c) j'ai essayé mais je ne trouve pas comment m'en sortir.

Posté par
larrechre : Fonction 15-08-19 à 21:09

La II-4c/ ?

Si oui, ne vois-tu pas que en II-4b/ on montre que la somme \sum_{k=1}^{n-1}{\dfrac{1}{k}} est minorée par   \ln(n) ?

Or en II-3-b/ on a établi que U_n\leq e^{-1-\frac{1}{4}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1})}

Que se passe-t-il si on remplace cette somme  par un minorant dans l'exposant de l'exponentielle?

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 16-08-19 à 18:11

Oui je comprends.
Pour la limite limn+\frac{n^ne^-^n}{n!} j'ai trouvé 0. Théoréme des gendarmes.

Partie II Maintenant
Pour 1) calcul de I1(a), j'ai changé tous les n en 1 y compris le n!
Et j'ai trouvé1-e^-^a(1+a). Est-ce que j'ai fait une erreur ?

Posté par
larrechre : Fonction 16-08-19 à 19:55

Non, c'est correct.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 16-08-19 à 20:21

2) Après un encadrement de e-t puis de fn(t), je suis arrivé à0\leq I_n(a)\leq \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}
3) partir de II1)a) pour montrer\frac{1}{n!}\prec (\frac{e}{n})^n
On a (Un) décroissante puis je cale.

Posté par
larrechre : Fonction 16-08-19 à 22:00

Cela revient à montrer que  U_n\leq1 , or U_1=e^{-1} et U_n est décroissante.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 17-08-19 à 09:05

En suivant vos conseils, ça le fait. Merci. Dites l'encadrement de In(a) que j'ai trouvé en 2) est-elle correcte?

Posté par
larrechre : Fonction 17-08-19 à 09:25

Oui, ce premier encadrement est correct. Permet de répondre à III-2c

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 17-08-19 à 09:56

Une nouvelle majoration de In(a)

On a tn≥0 t≥0 et e-t>0.
Donc,
\frac{t^ne^{-t}}{n!}\leq (\frac{e}{n})^nt^n e^{-t}
En intégrant de 0 à a, a>0.
I_n(a)\leq (\frac{e}{n})^n([-t^n e^-^t]_0^a+n\int_{0}^{a}{t^{n-1}e^{-t}}dt
Et je cale, il faudrait faire une intégration par partie des milliers de fois.

Posté par
larrechre : Fonction 17-08-19 à 15:31

Il ne faut pas essayer de la calculer telle quelle.

Le facteur \left(\dfrac{e}{n}\right)^n "sort" de l'intégrale, on peut majorer t^n  par a^n et calculer l'intégrale restante

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 17-08-19 à 20:28

En suivant vos conseils j'ai obtenu
0\leq I_n(a)\leq a^n(\frac{e}{n})^n(1-e^-^a)

Posté par
larrechre : Fonction 17-08-19 à 23:14

OK. Ensuite voir la limite de cette expression quand n\to\infty (prendre le log)

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 19-08-19 à 17:27

En fait pourquoi tnan

Posté par
larrechre : Fonction 19-08-19 à 18:37

0\leq t\leq a, puis propriétés de la fonction puissance

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 19-08-19 à 20:05

C-à-d que parce qu'on va intégrer de 0 à a, il faut que ta

Posté par
larrechre : Fonction 19-08-19 à 20:53

Oui, on intègre de 0 à a par rapport à t, donc t\in[0, a]

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 20-08-19 à 20:15

D'accord merci pour la suite une question pour 4)b) l'égalité reste-t-elle valable pour n=1? Comment?

Posté par
larrechre : Fonction 20-08-19 à 21:07

Il faut voir si en faisant n=1 dans l'égalité, on retrouve la valeur de I_1 calculée en III-1/

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 20-08-19 à 21:16

Donc c'est valable ?

Posté par
larrechre : Fonction 20-08-19 à 21:20

Oui. La relation est vraie pour tout n.

Posté par Profil Fifaliana36re : Fonction 20-08-19 à 21:29

Merci beaucoup pour tout

Posté par
larrechre : Fonction 20-08-19 à 22:07

De rien


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