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fonction

Posté par
xofnxksd 22-12-22 à 20:58

Bonjour,
Je bloque sur un exercice et j'aimerai bien avoir de l'aide.

la fonction f est définie sur , f(x)=aebx+c
déterminer l'expression de f sachant que f '(0)=-1 et que Cf passe par A(0;7) et qu'elle admet une asymptote horizontale d'équation y=2 au voisinage de +


Merci d'avance !

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 21:08

Bonsoir

Que proposez-vous ?
Qu'est-ce qui vous gêne ?

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 21:12

J'ai seulement calculé la f '(x) qui donne abebx
mais je ne sais pas comment continué

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 21:23

Vous avez f'(0)=1 traduisez puisque vous avez calculé f'(x).
Utilisez aussi la donnée, la courbe passe par A.
Cela vous donnera un système de 2 équations à résoudre.

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 21:31

excusez-moi je n'ai pas compris et f'(0)= -1
j'ai fais ca mais je ne sais pas si c'est ce qu'il faut faire :
f'(0)=abeb0
donc a=-1/b
b=-1/a

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 21:37

Il y a encore une autre équation à écrire.

Avez-vous des renseignements sur a ?

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 21:39

D'accord

on a bien ab=-1

Écrivez que la courbe passe par A.

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 21:41

ah oui a=2 donc
f'(0)= 2*(-1/2)*e(-1/2)*0=-1

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 21:48

Comment avez-vous trouvé 2 ?

Passe par A f(0)= ?

Comment va se traduire l'asymptote horizontale y=2

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 21:52

j'ai remplace a par 2 mais il faut le démontrer  et je ne vois pas comment utiliser A(0;7)

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 21:57

Un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.

M (x , y) \in \mathcal{C}\iff  M( x, f(x))

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 22:02

mais on ne peut pas calculé f(x) car nous n'avons pas c ?

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 22:05

Il y a encore une hypothèse que vous n'avez pas utilisée,  
l'asymptote

Que vaut f(0) ?

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 22:11

mais c nous est pas donné je ne vois pas comment faire

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 22:18

Résumons

f'(0)=-1  d'où ab=-1

passe par A d'où  a\,\text{e}^{b\times 0}+c=7

y=2  est asymptote au voisinage de +\infty  d'où

C'est ici que l'on a besoin de renseignements supplémentaires sur a   ou il faut supposer  a>0

après on peut résoudre le système formé par les trois équations

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 22:27

ah comme aeb*0+c=7

eb*0=1 et que l'asymptote est au voisinage de + on deduit que a =1 et c=6 car
1*1+6=7
?

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 22:33

Pour l'instant, on a

ab=-1

a+c=7

reste l'asymptote, mais vous ne dites pas comment vous l'utilisez.

Si a<0 on ne peut avoir une asymptote horizontale

La réponse donnera c et ensuite les deux autres

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 22:40

pour avoir une asymptote horizontale a>0donc a =1 pour  que 1*(-1)=-1
et a+c=7 donc a-7=-c    et 1-7=-6        c=6

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 22:45

Non on a une asymptote horizontale y=\ell ,\,( \ell \in \R) au voisinage de +\infty

si \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell

Écrivez donc la limite de f en +\infty

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 22:57

lim f(x)=aebx+c =+
x+

car la fonction ex est croissante sur et a>0

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 23:06

C'est là qu'intervient la nécessité de a>0

ainsi comme ab=-1  on a, alors b<0 et ainsi

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}a\,\text{e}^{bx}=\dots $ et $ \lim_{x\to +\infty}f(x)= \dots

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:10

lim aebx=+
x+

et

lim f(x)=+
x+

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 23:13

Non, justement \text{e}^{-x} tend vers 0 quand x tend vers +\infty

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:21

ahh oui c'est vrai excusez moi donc lim aebx=0
                                                                                 x+

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 23:25

On a ainsi obtenu :

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}a\,\text{e}^{bx}=0 $ et $ \lim_{x\to +\infty}f(x)= \dots

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:31

par somme lim f(x)=aebx+c= l*l'
                            x+

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:31

l+l'

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 23:34


Par addition on a ceci

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=0+c


On sait que cette limite vaut

par conséquent c=

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:42

cette limite vaut +                  par conséquent c=7

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 23:46

Non, faites attention. Ce ne peut être +\infty   car on aurait alors c=+\infty, ce qui est impossible et adieu l'asymptote !

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:47

ah donc cette limite vaut 7

Posté par
heklare : fonction 22-12-22 à 23:57

Non, l'équation de l'asymptote est y=2

Posté par
xofnxksdre : fonction 22-12-22 à 23:59

la limite vaut 2 ?

Posté par
heklare : fonction 23-12-22 à 00:10

oui, c d'une part et 2 de l'autre donc c=2

Conclusion

\displaystyle  \lim_{x\to +\infty}f(x)=c=2

ce qui implique que a soit strictement positif

on a alors ab=-1 et a+2=7

\begin{cases} a=\\ b=\\c=\end{cases}

f est la fonction définie par f(x)=

Posté par
xofnxksdre : fonction 23-12-22 à 00:14

mais il y a donc plusieurs solutions pour a et b ?

Posté par
heklare : fonction 23-12-22 à 00:20

Non, il n'y a qu'une unique solution.

Posté par
xofnxksdre : fonction 23-12-22 à 00:27

ah
a= 1
b=-1
c=2
c'est ça ?

Posté par
heklare : fonction 23-12-22 à 00:32

Vous croyez que 1+2=7 ?


si a+c=7 et c=2 on a donc a=

Posté par
xofnxksdre : fonction 23-12-22 à 00:40

a=5 si c=2

Posté par
heklare : fonction 23-12-22 à 00:41

Il reste encore b  sachant que ab=-1

Posté par
heklare : fonction 23-12-22 à 00:52

Vous auriez pu conclure.

fonction

Posté par
xofnxksdre : fonction 29-12-22 à 14:01

bonjour, j'ai reflechis sur l'exercice mais je ne comprend toujours pas pouquoi a=5 sachant que ab=-1et pourquoi c =2.
svp pourriez-vous m'éclairer

Posté par
heklare : fonction 29-12-22 à 14:58

Bonjour
Nous avons 3 renseignements pour définir l'expression de f, sachant qu'elle est de la forme f(x)=a\text{e}^{bx}+c

Premier renseignement f'(0)=-1

on dérive donc,  f'(x)=ab\text{e}^{bx}

soit pour x=0,\  f'(0)=ab \boxed{ab=-1}

Deuxième renseignement   la courbe passe par A (0{,}7)

il en résulte f(0)=7, par conséquent a\text{e}^{b\times 0}+c=7

c'est-à-dire \boxed{a+c=7}

Troisième renseignement   La courbe admet une asymptote horizontale d'équation y=2 au voisinage de + \infty. Dire cela signifie que \lim_{x\to +\infty}f(x) =2

On est donc amené à déterminer la limite de f au voisinage de +\infty

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty} a\text{e} ^{bx}+ \lim_{x\to +\infty }c

\lim_{x\to +\infty} a\text{e} ^bx}= \begin{cases}a\times +\infty& \text{si } b>0\\0&\text{si  }b<0\end{cases} \\ \\

\lim_{x\to +\infty }c = c

Puisque la limite en + \infty est finie et vaut 2, il est nécessaire que b soit strictement négatif,

d'où \lim_{x\to +\infty }f(x)=a\times 0+c \  \boxed {c=2 \ \text{et } b<0}


On a donc à résoudre

\begin{cases} b<0\\  ab=-1\\ a+c=7 \\c=2\\\end{cases}

dans la deuxième ligne, on peut calculer a. , a+2=7 d'où a=5

Dans la première ligne, ab=-1 d'où b=-\dfrac{1}{a} ou encore puisque a=5,\ b=-\dfrac{1}{5}=-0,2

Conclusion du système  

\begin{cases}a-5\\b=-\frac{1}{5}=-0,2\\c=2\end{cases}

Posté par
xofnxksdre : fonction 29-12-22 à 18:43

ohh je vous remercie beaucoup pour le temps consacré a cet exercice je viens de comprendre plus de choses !

Posté par
heklare : fonction 29-12-22 à 18:52

De rien

Il ne faut jamais hésiter à demander des explications
Bonne soirée


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