salut!
voila moi je te ptopose de factoriser en haut et en bas par x²
cela donne
[x²(1+(9/x)+(14/x²)] / [x²(1+(8/x)+1+(16/x²)]
tu supprime les x² en haut et en bas.

voila apres quand tu passes a la limite en + oo cela te donne
lim f(x) =1 (car une quantité sur x avec x qui tend vers l'infini
=0)
voila j'espere que j'ai pu t'aider!
a+
adeline
bon courage

Bonsoir Usher

Alors pour la dérivée :
f(x) = x² + 9x + 14/(x+4)²

f'(x) = 2x + 9 - 28/(x+4)³

Je ne sais pas si c'est ce que tu trouvais, bon courage pour la
suite ...

f(x) = x² + 9x + 14/(x+4)²

f '(x) = 2x + 9 + 14(-2(x+4))/(x+4)^4
f '(x) = 2x + 9 - [28/(x+4)³]
f '(x) = [(2x + 9)(x+4)³ - 28]/(x+4)³

Sur [0 ; oo[, (x+4)³ > 0 et donc f '(x) a le signe de [(2x + 9)(x+4)³
- 28]

[(2x + 9)(x+4)³ - 28] = (2x+9)(x³+12x²+48x+64) - 28 et comme 2*64 - 28
> 0,
[(2x + 9)(x+4)³ - 28] = (2x+9)(x³+12x²+48x) + 64(2x+9) - 28
[(2x + 9)(x+4)³ - 28] = (2x+9)(x³+12x²+48x) + 128x + 576 - 28
[(2x + 9)(x+4)³ - 28] = (2x+9)(x³+12x²+48x) + 128x + 548 qui est > 0 pour
x >= 0

[(2x + 9)(x+4)³ - 28] > 0 pour x dans [0 ; oo[

On a donc:
f '(x) > 0 pour x dans [0 ; oo[ -> f(x) croissante.
-----
lim(x-> oo) f(x) = lim(x->oo) [x² + 9x + 14/(x+4)²] = oo + oo + 0 = oo
-----
Sauf distraction.    

et bien moi je trouve 8x^2+37x+32 , ainsi que -(x-8)/(x+4)^3
et une autres ou je trouve -2x^3 - 13x^2 + 10x +88/(x+4)^4 lol !
donc je sais pas du tout ^^

voila je viens de la tracer avec ma calculette et elle tend vers
1
donc je pense que mon résonnement est juste et vous elle tend vers quoi
a votre avis?
adeline

Il y a un énorme problème de compréhension.

Océane et moi avons considéré la fonction:
f(x) = x² + 9x + [14/(x+4)²]

et adeline a considéré la fonction:
f(x) = (x² + 9x + 14)/(x+4)²

Ce qui est fondamentalement différent.
-----
Si on tient compte des règles d'écriture mathématique, la fonction
telle que l'a écrite usher est celle qu'Océane et moi avons
considéré.
Il reste possible, comme cela arrive très souvent, que l'écriture
de la fonction n'est pas bien été traduite dans la question
initiale.
-----
usher doit dire si la fonction qu'il a voulu écrire est:

f(x) = x² + 9x + [14/(x+4)²]
ou bien
f(x) = (x² + 9x + 14)/(x+4)²

Si c'est la seconde, il a fait une grave erreur en écrivant son
énoncé initial.  
------

oups je suis entierement désolée pour cette confusion j'ai lu
tres vite et c'est vrai que je n'ai pas vraiment fait attention.
j'avais 5 minutes alors j'en ai p)rofité pour aider quelques personnes
mais je n'aurais pas du apparemment!!!
pardon pour cette erreur ils ont raison pour l'écriture.

encore désolée
a+
adeline