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fonction avec ln
Bonjour,
voici un de mes exercices à faire en DM (noté mais non inefficienté, donc ne sert à rien dans la moyenne car coef =0)
Cet exercice comprend deux parties, je fais d'abord la 1ière à savoir : (après je mettrai la suite)
On considère la fonction g définie sur ]0, +∞[ par g(x)=2x3-1+2lnx
1) Etudier les variations de la fonction g sur ]0, +∞[
2) Montrer que lim g(x)= -∞
x→0
x>0
3)Montrer que lim g(x) = + ∞
x→ + ∞
4) Justifier qu'il existe un unique réel α tel que g (α)=0
5) En déduire le signe de g(x) sur ]0, +∞[
1) La fonction g est dérivable sur l'intervalle ]0, +∞[ en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0, +∞[. De plus, pour tout réel x>0, g′(x) = 6x2 +2/x
.
Pour tout réel x>0, g′(x) est strictement positif. Par suite, la fonction g est strictement croissante sur ]0, +∞[.
2) • lim (2x3 − 1) = −1 et on sait d'autre part que lim ln x = −∞ et donc que
x→0 x→0
x>0 x>0
lim 2 ln x = −∞ . En additionnant, on obtient lim g(x) = −∞
x→0 x→0
x>0 x>0
3)• lim 2x3 − 1 = +∞ et on sait d'autre part que lim lnx→+∞
x→+∞ x→+∞
et donc que lim 2lnx=+∞ En additionnant, on obtient lim g(x)=+∞.
x→+∞ x→+∞
4) La fonction g est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[. On sait alors que pour tout réel k de l'intervalle
] lim g(x), lim g(x)[ =]−∞, +∞[, l'équation g(x) = k admet une solution et une seule
x→0 x→+∞
x>0
dans ]0, +∞[. En particulier, l'équation g(x) = 0 admet une solution et une seule, notée α, dans ]0, +∞[.
La calculatrice fournit g(0, 864) = −0, 002 . . . < 0 et g(0, 865) = 0, 004 . . . > 0. Ainsi, g(0, 864) < g(α) < g(0, 865).
Puisque la fonction g est strictement croissante sur ]0, +∞[, on en déduit que 0, 864 < α < 0, 865 puis que
α = 0, 86 arrondi au centième.
5) Soit x ∈]0, +∞[. Si x < α, alors g(x) < g(α) puisque la fonction g est strictement croissante sur ]0, +∞[ ou encore
g(x) < 0 et si x > α, alors g(x) > g(α) ou encore g(x) > 0. On a ainsi montré que
la fonction g est strictement négative sur ]0, α[, strictement positive sur ]α, +∞[ et s'annule en α.
MERCI
(après je mettrai la suite de cet exercice)
Bonjour littleguy 
je ne suis pas nécessairement le sujet...cela dépendra de ma présence ou pas...tu peux intervenir quand tu veux 
Bonjour à vous tous,
voici la partie B de cet exercice :
Re,
ok je poursuis donc
PARTIE B
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x)=2x −( ln x/x²)
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d'un repère orthogonal (O ;
; 
)
1) Déterminer les limites de f en O et en +∞. Que peut-on en déduire ?
2) Etudier la position relative de la courbe Cf de la droite d'équation y= 2x
3) Montrer que f '(x)=g(x)/x²
4) En déduire le tableau de variations de la fonction f
5) tracer la droite et donner l'allure de la courbe Cf. Unités graphiques : 2 cm
voici ce que j'ai fait :
1) Etude de la limite de f en 0 : Pour tout réel x>0 , (lnx)/x²=1/x²*lnx on sait que
lim ln (x) = −∞ lim 1/x²= + ∞ en multipliant on obtient ln(x)/x²= -∞
x→0 x→0 x→0
x>0 x>0 x>0
puis lim -(lnx)/x²= + ∞ Comme d'autre part lim 2x=0, en additionnant on obtient
x→0 x→0
x>0 x>0
lim f(x)= + ∞
x→0
x>0
*limite en + ∞. Pour tout réel x>0 , (lnx)/x²=1/x*('lnx)/x. D'après le théorème de croissances comparées, on sait que
lim (lnx)/x=0 d'autre part, lim 1/x=0. En multipliant, on obtient lim (lnx)/x²=0
x→+ ∞ x→+ ∞ x→+ ∞
On a aussi lim 2x=+ ∞ En retranchant, on obtient lim f(x)= + ∞
x→+ ∞ x→+ ∞
Que peut-on en déduire ? que la fonction est f (x) tend vers + ∞
2)
soit x>0 soit M le point de C d'abscisse x et N le point de 
de même abscisse x
yM-yN= f(x)-2x= -(lnx)/x²
* Si x >1, lnx>0 donc yM-yN<0 on en déduit que la courbe C est strictement au-dessous de la droite sur ]1 ; + ∞ [
* Si x<1, ln x<0 donc yM-yN>0 on en déduit que la courbe C est strictement au-dessus de la droite sur ]0 ; 1[
* Si x=1 yM=yN=2 la courbe C est la droite se coupent au point d'abscisse (1,2)
3) montrer que f '(x)=(g(x)/x² g(x)= 2x3(lnx)-1+2lnx
la fonction (lnx)/w² est dérivable sur ]0;+ ∞[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ]0;+ ∞[dont le dénominateur ne s'annule pas sur ]0;+ ∞[ mais alors la fonction f est dérivable sur ]0;+ ∞[ en tant que différence de 2 fonctions dérivables sur ]0;+ ∞[ et pour tour réel x>0
f '(x) = 2- ((1/x*x²)-(lnx*2x))/(x²)²
forme de u/v donc :
2-(x-2xlnx)/x4=2-(x(1-2lnx)/x4=2-(1-2lnx)/x3=(2x3-1+2lnx)/x3
je ne trouve pas ce qui est mis à savoir f '(x)=(g(x))/x²
j'ai bien le numérateur identique soit g(x)= 2x3-1+2lnx mais en dénominateur je trouve x3 et non x² ?
donc f '(x)= (g(x))/x3 qui est du signe de g(x) sur ]0;+ ∞[ (comme pour tour réel x>0, on a x3 ou x² >0, le signe de f '(x) est le signe de g(x) pour tout réel x>0)
4)le signe de la fonction g a été étudié au-dessus. On en déduit le tableau de variation de la fonction f
x 0 
+ ∞
f '(x) - 0 +
f (x) + ∞ + ∞
flèche descendante f() flèche montante
5)représentation graphique
je vais le faire après
MERCI
Re,
voici mon graphique
il est demandé à la question 5) donc de tracer la droite et donner l'allure de la courbe Cf
Je ne sais pas quoi répondre à part qu'elle est au-dessus jusque l'intersection (1,2) puis légèrement en dessous elle suit la droite y=ax en étant légèrement en-dessous
mais je pense que ce n'est pas ça qu'il faut mettre
MERCI
Pour le c) de la question 1 "Que peut-on en déduire ?", on attend un peu mieux que ce que tu a écrit.
Pour la dérivée c'est bien x3 au dénominateur.
Cette fois-ci j'ai trouvé la rédaction un peu "lourde". 
Re,
pour la question 1 c) j'ai écrit :
Que peut-on en déduire ? que la fonction est f (x) tend vers + ∞
c'est une asymptote verticale est-ça (car je n'ai pas trop compris les asymptotes)
pour la question 3) donc si c'est bien x3 au dénominateur je ne comprend pas pourquoi dans l'énoncé il est noté x² au dénominateur
Oui je sais ce n'est pas si bien rédigé que la première partie (comme j'ai pas mal de travail j'ai fait vite)
autre point on me demande dans la dernière question de donner l'allure de la courbe
est-ce que je met :
la droite ∆ d'équation y = 2x est asymptote à la courbe C en +∞.
MERCI
Oui il y a une asymptote "verticale", il faut la préciser.
L'allure de la courbe c'est ce que tu as donné.
Pour le x^3 c'est une erreur de texte, ça arrive.
Re,
donc on est bien d'accord qu'il y a une asymptote verticale pour la question 1 à Que peut-on en déduire ? que la fonction est f (x) tend vers + ∞ donc je rajoute qu'il y a une asymptote verticale. OK
pour la dernière question après le graphique
l'allure de la courbe donc je met :elle est au-dessus jusque l'intersection (1,2) puis légèrement en dessous elle suit la droite y=ax en étant légèrement en-dessous la droite ∆ d'équation y = 2x est asymptote verticle à la courbe C en +∞.
donc l'asymptote de la question 1 à la fin est verticale et l'asymptote de la dernière question sur l'allure de la courbe est verticale aussi
c'est bien ça
MERCI
la droite ∆ d'équation y = 2x est asymptote verticle
Elle n'est pas verticale ! (on parle souvent d'asymptote oblique).
Quand on demande "l'allure de la courbe", je pense qu'il s'agit de tracer cette courbe même si ce tracé n'est pas parfait.
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