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fonction avec logarithme népérien

Posté par Nelcar 23-11-20 à 17:35

Bonjour,
voici un autre exercice :
soit f la fonction définie sur ]0 ; + infini[ par :
f(x) = (x-1)/x + ln(x)
1) a) Etudier les variations de la fonction g définie sur  ]0 ; + infini[  par g(x)= x-1+ln(x)
b) calculer g(1), puis en déduire le signe de g(x) sur  ]0 ; + infini[
2 a) montrer que pour tout x de  ]0 ; + infini[  : f '(x)= (g(x))/x²
b) en déduire les variations de la fonction f

J'ai essayé mais..... je galère
voici ce que j'ai fait
g(0)=0-1+0=-1
g(1)=1-1+1=1
g(2)=2-1+2=3
la fonction est croissante sur  ]1 ; + infini[

x                   0                                                  + infini
g(x)                             +

je calcule ensuite (x-1)/x
forme (u'v + uv')/x   u= x-1  u'=1   v=x  v'=1
(1*x)+(x-1*1/x ² =(x+x-1)x² et là je suis perdue le ln(x)  est-ce que je met x

merci de me dire ce que vous en pensez

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 17:39

a) dérivée signe de la dérivée sens de variation

 g(0) n'est pas défini

 g(1)=1-1+\ln 1=0

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 18:20

Re,
donc je vais commencer par le début
faire la dérivée de f(x)
forme de u/v
donc je fais la première partie soit (x-1)/x = j'ai trouvé (x+x-1)x² reste ln(x) la dérivée est 1/x
donc f '(x) = (x-x-1)/x² + 1/x = (3x-1)/x²
je ne vais pas plus loin d'abord savoir si ma dérivée est bonne

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 18:28

On commence par une fonction intermédiaire  on veut d'abord les variations de g

Quel est le texte exact car ainsi on n'a pas pour f'(x), \dfrac{x-1+\ln x}{x^2}

Ni ce que vous avez trouvé

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 20:16

Re,
je suis perdue de chez perdue
donc je dois faire la dérivée de g(x) alors
g'(x)= 1+1/x
la fonction dérivée est décroissante sur I ]0 ; + infini[
g '(1)=1+1/1=2
g'(2)=2+1/2=1,5
condition x >0
la fonction g(x) est strictement croissante.
g(1)= 0
g(2)=2-1+ln2=1,301

Merci de me dire quoi avant d'aller plus loin car je galère

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 20:23

 g(x)=x-1+\ln x \quad g'(x)=1+\dfrac{1}{x}

 g'(x) >0 pour tout x \in ]0~;~+\infty[ donc g est croissante sur cet intervalle

 g(1)=0

si x\in ]0~;~1[g(x)<0 et si x\in ]1~;~+\infty[\  g(x)>0

Pourquoi 2 ?

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 21:08

Re,
oui le 2 ne sert à rien
ensuite :
2 a) montrer que pour tout x de  ]0 ; + infini[  : f '(x)= (g(x))/x²
b) en déduire les variations de la fonction f
je calcule ensuite (x-1)/x
forme (u'v + uv')/x   u= x-1  u'=1   v=x  v'=1
(1*x)+(x-1*1/x ² =(x+x-1)x²  
donc :(x+x-1)x² +ln(x)
et là je n'arrive pas à arriver sur g(x) je coince avec mon x² au dénominateur
MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 21:16

C'est bien pour cela que j'avais demandé de vérifier le texte

f('x)= \dfrac{x-1}{x}+\ln x \quad f'(x)= \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 23-11-20 à 21:18

lire
f(x)= \dfrac{x-1}{x}+\ln x \quad f'(x)= \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 09:13

Bonjour,
je n'arrive pas à trouver la même dérivée que toi
ln(x) : la dérivée est 1/x là OK
mais pour (x-1)/x  formule forme (u'v + uv')/x²   u= x-1  u'=1   v=x  v'=1
(1*x)+(x-1*1/x ² =(x+x-1)x²  
donc :(x+x-1)x² +1/x
MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 10:32

Normal puisque votre dérivée de \dfrac{u}{v} est fausse

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 11:11

RE?

JE reprend :formule forme (u'v + uv')/v²  en effet.... quelle étourdie
donc j'obtiens :

u= x-1    u'=1        v=x              v'=1
(1*x)+ (1*(x-1)  dénominateur : x +x - 1  et au dénominateur x²  je suis toujours au même résultat.
et je coince
MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 11:16

au numérateur c'est \Large u'v -v'u et vous continuez à mettre +

Citation :
(1*x) - (1*(x-1)  dénominateur numérateur : x -x + 1

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 11:36

Re,
ah oui.... je ne sais pourquoi
je refais donc
u= x-1    u'=1        v=x              v'=1
(1*x)- (1*(x-1)  dénominateur : x -x+1  et au dénominateur x²  donc 1/x² mais ça ne me donne pas g(x)
MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 11:49

Encore un copier-coller  vous réécrivez dénominateur pour numérateur  

Je suis bien d'accord la dérivée de f n'a  aucun lien avec g(x) c'est bien pour cela que j'avais demandé de vérifier le texte

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 13:55

Re,
je viens de vérifier dans mon livre et j'ai fait une erreur en recopiant l'énoncé ce n'est pas + mais *
donc :
f(x) = (x-1)/x * ln(x)
donc
u= x-1    u'=1        v=x              v'=1
(x*1)-(x-1)(1) le tout sur x²
(x-x+1)/x²  + 1/x
MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 14:11

f(x)=\dfrac{x-1}{x}\times \ln x

Première possibilité :

 f=\dfrac{u}{v}\quad f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

dans ce cas on pose u(x)=(x-1)\ln x et v(x)= x

ou deuxième possibilité

on considère  f=uv  avec cette fois u(x)=\dfrac{x-1}{x} et v(x)=\ln x

En prenant cette dernière on a bien u'(x)=\dfrac{1}{x^2} et v'(x)=\dfrac{1}{x}

mais (uv)'=u'v+v'u et non \cancel{u'+v'}

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 17:36

Re,
OK
je suis arrivée au même résultat en faisant la première possibilité
donc maintenant il faut que je fasse (uv)'= 1/x
(1/x*(x-1)/x)(+lnx*1/x²)
je trouve (x-1+ln(x))/x²
j'ai bien f'(x)=g(x) / x²
et dernière question en déduire les variations de la fonction f

donc
x                                 0                                  1                       + infini
g(x)                                               -                0                  +
x²                                                   +                                   +
f'(x)                                                -               0                   +
f(x)            flèche descendante                               flèche montante

                                 VI                                 0

MERCI

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 17:44

Le signe de f'(x) est celui de g(x)   on a bien - 0 + par conséquent
f est strictement décroissante sur ]0~;~1[ et strictement croissante sur ]1~;~+\infty[

Posté par Nelcarre : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 18:16

Re,

ok

MERCI beaucoup. Bonne soirée

Posté par
hekla
re : fonction avec logarithme népérien 24-11-20 à 18:21

De rien

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