Bonjour, babybelle.

Pour la première question:
Si on ne suppose pas que f est continue, f peut ne pas être surjective.
Sachant que f est continue et injective, on peut montrer que f est monotone.
Ensuite, on peut montrer que les limites de f en l'infini sont infinies.

Pour la deuxième question: quelles sont les hypothèses sur f?

alors oui effectivement j'ai oublié de te dire que f est continue, indication importante
et qu'entends tu par hypothèse sur f?car à part que f est continue je n'ai rien oublier d'autre de l'énoncé..

Pour la deuxième question, si on suppose seulement que f est continue, alors, l'ensemble des x tels que f(x)=x peut ne pas être un intervalle ou l'ensemble vide.
Par exemple, pour f(x)=x^2, l'ensemble des x tels que f(x)=x est égal à {0,1}.
Par contre, il est exact que cet ensemble est toujours fermé. Que sais-tu sur les ensembles fermés?

pour la 2), je pense que si on prend un x appartenant à F on a f(x)=x et on remplace dans l'inégalité, après tout dépend de y
si y appartient a F alors l'ensemble F est vide, si f appartient à privé de F alors c'est un intervalle fermé (mais comment donner un intervalle si mon raisonnement est juste?)
merci

mais pour f(x)=x^2, prenons x=3 et y=-3 , 0 n'est pas superieur ou égal à 6

Je viens de comprendre. On suppose également que

Pour montrer que l'ensemble considéré est un intervalle, il suffit de montrer que c'est une partie convexe.
Donc si f(x)=x et si f(y)=y, il suffit de montrer que pour tout z dans l'intervalle ]x,y[ f(z)=z. Pour cela, il suffit de remarquer que


...

qu'est-ce une partie convexe?

pour ton raisonnement proposé je ne vois pas trop..

Connais-tu la caractérisation suivante d'un intervalle?