Bonsoir,
Localement tu dois quand meme t'en sortir avec le developpement en serie entière du log qui va te permettre de definir un log et une exponentielle.
Pour la suite tu as une suite exacte de faisceau 0->Z->O_X->O_X^*->0, ou O_X est le faisceau des fonctions lisses, O_X^* le faisceau des fonctions lisses inversibles (à valeur dans C^* donc), la première flèche etant la multiplication par 2i\pi.
Cette suite exacte te donne une suite exacte longue, et tu dois calculer donc H^1(S^n,Z) pour t'assure de la surjectivité globale de l'exponentielle.
Mais le H^1(S^n,Z) est aussi égal au 1er groupe de cohomologie de Betti de S^n, puisque le complexe des chaines donne une resolution du faisceau constant Z. Tu peux donc le calculer par Mayer-Vietoris par exemple (ou par la resolution de Cech si tu veux pas passer par la cohomologie de Betti).

Je dois résoudre ça sans utiliser les faisceaux ou une quelconque théorie cohomologique mais avec des arguments élémentaires.
Je pense qu'il faut d'abord montrer qu'il y a des solutions localement (c'est ce qui me pose problème).
Ensuite on a donc , ouvert et tel que . Par compacité de la sphère on extrait un recouvrement fini . Quitte à permuter les indices on peut supposer par connexité de la sphère que . Ainsi sur l'intersection donc où . On pose , c'est encore une solution sur . De proche en proche on a égalité des solutions sur toute les intersections donc une solution globale sur la sphère.
Est-ce un bon raisonnement ?

Bonjour

Je ne sais pas trop si ça peut servir, mais voici une solution locale très élémentaire. Après, ça dépasse mes capacités.

Soient un ouvert simplement connexe de et une fonction holomorphe. Alors la fonction est holomorphe sur donc elle admet des primitives, sur U.

On a . Il suffit de bien choisir la primitive!

Bonsoir,

Sinon on peut rester au niveau topologique, sans parler directement de faisceaux et de la suite exacte exponentielle, en utilisant le théorème de relèvement si tu en as déjà entendu parler.

L'application est un revêtement universel de , ainsi si est par exemple une variété topologique connexe alors toute application continue se factorise continument (et de façon unique quitte à fixer des points dans chaque espace) par si et seulement si l'image de est le sous groupe trivial.

Cela revient donc à voir que les sphères sont simplement connexes pour n>1. Le relèvement obtenue n'est a priori que continue, mais on vérifie facilement que si f est différentiable, alors le relèvement l'est aussi.

Il est ici question de fonctions de classe . Il n'y a pas de structure holomorphe sur la sphère à priori (l'existence d'une structure holomorphe sur par exemple est une conjecture ouverte) et je n'ai pas de théorie de l'intégration pour des fonctions sur la sphères. Je pense qu'il faut procéder autrement..

Non je ne dispose pas non plus de la théorie du groupe fondamental et des revêtements. Mon raisonnement topologique élémentaire me semble bon. Un avis ?

Pour prouver l'existence localement, remarque que ta fonction est bornée supperieurement et inférieurement du coup si tu prend un petit voisinage autour d'un point de ta sphere tu peux multiplier ta fonction f par r de sorte à ce que rf soit à valeur dans le disque de centre 1 et de rayon disons 1/2. Mais alors log(rf) est facile à definir comme la somme des (-1)^{k+1}(rf)^k/k, donc log(rf)a un sens, et tu pose log(f)=log(rf)-log(r).
Il ne te reste qu'a verifier que exp(log(f))=f, ce qui est formellement la meme chose que le verifier pour les series entières.
Tu dois pouvoir alternativement definir localement log(f)(b) comme f(a) + l'intégrale de f'(\gamma(t))/f(gamma(t)) dt où gamma est un chemin reliant a à b pour b dans un petit voisinage simplement connexe de a.

Mega-grillé!

Ta gloablisation du resultat est correcte oui.

r est une fonction de à valeurs dans ?

Non, r est un nombre réel positif.

Je vois pas bien ce que c'est ce r. Quand tu as un compact de tu peux le translater dans ?!

Non le but c'est de contracter pas de translater.. par contre r est un complexe non nul! Pas un réel!

Je dois y aller là, j'ai pas le temps de te rediger une solution, si tu n'y arrives pas je le ferai.

Ah oui tu peux toujours contracter dans une boule proche de 0 mais qui ne contient pas 0, c'est bon j'ai compris.
Maintenant pourquoi tu ne peux pas définir log(f) directement par somme des (-1)^{k+1}(f)^k/k ?