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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Fonction entière

Posté par
Mystrall
08-04-19 à 11:39

Bonjour !
Je bloque un peu sur une question de mon DM en Analyse Complexe.

"Soit f une fonction entière non constante telle qu'il existe C\geq 0 et \alpha \in ]0,1[ vérifiant \forall z\in \mathbb{C}, \left|f(z) \right|\leq C e^{\left|z \right|^{\alpha}}

Montrer que f s'annule en au moins un point. Montrer de plus que si f n'est pas un polynôme, alors f s'annule une infinité de fois. "

J'ai réussi la première partie en écrivant f = e^{g} où g est entière puis avec l'hypothèse, on en déduit que e^{Re (g)} \leq C e^{\left|z \right|^{\alpha}}
puis Re(g) \leq ln(C) \left|z \right|^{\alpha }.

On peut ensuite montrer que g est polynomiale de degré au plus alpha avec l'inégalité de Borel Carathéodory, donc g est constante, donc f aussi et on obtient une contradiction.

En revanche, je ne sais pas comment faire pour la deuxième partie. J'ai essayé par contraposée en supposant que f s'annule un nombre fini de fois. On peut alors écrire f = P e^{g} où P est un polynôme (c'était un résultat d'une question précédente du DM), puis il faudrait montrer là encore que g est constante.

Si quelqu'un a une idée de par où commencer, je serai preneur !

Merci à vous

Posté par
Poncargues
re : Fonction entière 08-04-19 à 11:44

Si tu te place hors disque assez grand, il est clair que l'inverse de ton P va etre majoré par une constante.
Maintenant sur le disque en question exp(g) est bornée, donc tu peux modifier ta constante pour que e^g soit majorée par un Cexp(|z|^a) sur C tout entier et réappliquer la méthode précédente.

Posté par
Mystrall
re : Fonction entière 08-04-19 à 14:14

Merci beaucoup, ça marche nickel !



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