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Fonction entière
Bonjour !
Je bloque un peu sur une question de mon DM en Analyse Complexe.
"Soit f une fonction entière non constante telle qu'il existe et
vérifiant
Montrer que f s'annule en au moins un point. Montrer de plus que si f n'est pas un polynôme, alors f s'annule une infinité de fois. "
J'ai réussi la première partie en écrivant où g est entière puis avec l'hypothèse, on en déduit que
puis .
On peut ensuite montrer que g est polynomiale de degré au plus alpha avec l'inégalité de Borel Carathéodory, donc g est constante, donc f aussi et on obtient une contradiction.
En revanche, je ne sais pas comment faire pour la deuxième partie. J'ai essayé par contraposée en supposant que f s'annule un nombre fini de fois. On peut alors écrire où P est un polynôme (c'était un résultat d'une question précédente du DM), puis il faudrait montrer là encore que g est constante.
Si quelqu'un a une idée de par où commencer, je serai preneur !
Merci à vous
Si tu te place hors disque assez grand, il est clair que l'inverse de ton P va etre majoré par une constante.
Maintenant sur le disque en question exp(g) est bornée, donc tu peux modifier ta constante pour que e^g soit majorée par un Cexp(|z|^a) sur C tout entier et réappliquer la méthode précédente.
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