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Fonction et gâteau
Bonjour, je sollicite votre aide sur cet exercice car je ne comprends pas vraiment comment faire.
Voici l'énoncé :
On place, dans un four chauffé à 180◦, un gâteau à température ambiante (20◦) à l'instant t = 0 (t est exprimé en minutes).
On admet que la température du gâteau est donnée par la fonction de la forme
f(t) = 180 − ke−λt, où k et λ sont deux réels strictement positifs
1. En utilisant la température initiale du gâteau, déterminer la valeur de k.
2. Montrer que la vitesse d'accroissement de la température est proportionnelle à l'écart de température entre le gâteau et le four.
3. On constate qu'au bout de 20 minutes, la température initiale du gâteau a doublé.
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de λ à 10−4 près.
4. Dresser le tableau de variations de la fonction f. Quelle est la température limite du
gâteau ?
5. Au bout de combien de temps la température du gâteau a-t-elle atteint 150◦
?
Voilà, ce que j'ai fait :
1. f(0) = 180-ke-λ*0
=180-ke0
=180-k*1
=180-k
k=180
2. Je sais pas comment répondre, je pensais faire le taux d'accroissement
Merci d'avance.
Super, après j'ai besoin de calculé la dérivée j'imagine ce qui donne
f'(t)= k*λ*e-λt
et l'écart de température entre le gâteau et le four est de 160 ° C mais je ne sais pas comment montrer la proportionnalité.
Alors on te demande de montrer que la vitesse d'accroissement de la température est proportionnelle à l'écart de température entre le gâteau et le four.
la vitesse d'accroissement c'est effectivement f'(t) que tu as calculé
l'écart de température entre le gâteau et le four. c'est 180-f(t)
et ça doit être proportionnel donc remplace, fais le quotient des deux, tu dois montrer que ça donne quelque chose de constant.
Ok je ne pensais pas qu'on pouvais simplifier par k encore.
Ensuite pour la 3,
Je résous f(20) = 180-160*e-λ*20 =40
Mais j'arrive à e-λ*20 = 7/8
Je ne vois pas comment me débarrasser de l'exponentielle
C'est la fonction réciproque de l'exponentielle, c'est embêtant de manipuler des exponentielles et pas les logarithmes. e lnx = x ou ln ex = x
je ne vois pas vraiment comment trouver λ sans prendre le logarithme des deux cotés
-λ*20 = ln(7/8) 
λ = ...
ta calculatrice, elle connait les logarithmes.
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