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Fonction et suite

Posté par
bouchaib
08-01-20 à 16:04

bonjour ,
je voudrais m'aider pour la correction de certaines questions dans un problème de maths( mon examen normalisé fin premier semestre):
je passe à la partie B( partie A : déduire que la fonction g(x)= x-1+2ln(x) 0 si x]0;1] et g(x)0si x[1;+[ ).
B- f(x)= x-ln(x)+(ln(x))2
  1-calculer lim f(x) , x0+ puis interpreter le resultat ( c'est fait),
2-
      a- on pose t=x  montrer que lim(ln(x))2/x=0  qd x tend vers +(fait)
      b- en déduire que lim f(x) qd x+ et lim(f(x))/x=1 qd x+( c'est fait aussi).
c- montrer que lim f(x)-x= + en déduire la direction de la branche parabolique au voisinage de + (c'est fait).
3-
a-résoudre dans ]0;+[ l'équation (ln(x))2-ln(x)=0
ma réponse était : ln(x)(ln(x)-1)=0   s={x=1 ou x=e},
b-Dresser le tableau de signe de ln(x)(ln(x)-1),
ce produit est négatif si  1xe pour le reste du Df le produit est positif.

c- en déduire la position relative de la courbe (cf) et la droite (D) d'équation y=x, (la courbe de f est en dessous de la droite (D): y=x
  sur l'intervalle [1;e].
4-a montrer que x]0;+[ f'(x)= g(x)/x ( c'est fait),
b donc  f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1; +[ ( compte tenu du signe de (g(x)) sur ]0;+[)
c- son tableau des variations est fait sans soucis.
5- on a tracé dans le même repère la droite (D) et la courbe (cf)

C- Soit h la restriction de f [1;+[,
  1- Montrer que h admet une fonction réciproque h-1 définie sur un intervalle j à déterminer ,
     ma réponse : f est continue sur ]0;+[ car somme de fonction continues sur]0;+[ et [1;+[ est ]0;+[ donc h est continue sur [1;+[,
strictement montone sur [1;+[ (croissante)( donc une bijection)
d'où h admet une fonction réciproque h-1.
j=[1;+[ ,
2-Montrer que h-1 est dérivable en (e) et calculer (h-1)'(e),
ma réponse :
    - f(x) est dérivable sur ]0;+[ ( les propriétés ) donc h est dérivable sur [1;+[ ( une réstriction de f) donc h-1 est dérivable sur j ,
(propriété),
  -e j,
-h-1(e)=e   et (h-1)'(e)=1/h'(e)( comme h'(x)= g(x)/x et (g(x)= x-1+2ln(x)) alors  (h'(e)=e+1/e ) donc (h-1)'(e)= e/(e+1).
je voudrais savoir est-ce- que cette formulation est bonne .(merci)
3- on nous demande de tracer sur le même repère que précédemment  (ch-1 ) ( c'est fait ),
D- on considère la suite numérique (un)nN,
définie par :  
                            \left\lbrace\begin{matrix} u_{0}=2 & \\u_{n+1}=h^{-1}(u_{n} ) & \end{matrix}\right.,
1-montrer  par récurrence que n 1un e
( c'est fait sans problème)
2-
   a- Montrer que x[1;e] h-1x
la formulation de ma réponse :
   h(x)-x0 x[1;e] ( sur cet intervalle f(x) donc h(x) est en dessous de la première bissectrice (y=x) par conséquent et par la règle de symétrie  des deux courbes ch et ch-1 , h-1x
( mais je voudrais une réponse par le texte qui convient) (MERCI)
b- montrer que la suite (un) est croissante:
un+1=h-1(x)un(=x); donc
  un+1-un0 donc (un) est une suite croissante.
je voudrais corriger aussi ma logique (merci).
3- en déduire que la suite étudiée est convergente et calculer lim un ( c'est fait , sa limite est la solution de l'équation h-1(x)=x ,
on a 2 solutions x=1 et x=e et comme (Un) est croissante donc on retient x=e .
merci de me corriger ou de me perfectionner pour les question qui m'ont posées problèmes
je les rappelle :
C-2 et D (1,2 et 3) .
Merci d'avance et pardon pour la longueur.


  

Posté par
larrech
re : Fonction et suite 08-01-20 à 19:39

Bonjour,

C'est certain que la longueur va en décourager plus d'un(e).
  
L'ensemble me paraît être correctement traité étant entendu que  certaines réponses sont un peu elliptiques, sans doute pour ne pas alourdir.

C-2 Il faut mieux faire ressortir les théorèmes sur lesquels tu te fondes ("les propriétés" c'est trop bref).
Ensuite j'aurais donné l'expression de h'-1(x) en fonction de h'(x) en citant le cours, après quoi j'aurais fait x=e, etc.

D-2, Parler de symétrie des graphes effectivement, mais conclure que h-1(x)>x  sur le même intervalle à savoir sur [1 ;e]

D-3 , il faut dire que la suite étant croissante et majorée par e, elle admet une limite L et que h-1 étant continue , L est solution de l'équation h-1(L)=L

En attendant d'autres avis.

Posté par
bouchaib
re : Fonction et suite 08-01-20 à 21:59

BONSOIR
et MERCI



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