Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

fonction et suite

Posté par
aya4545
08-01-22 à 12:28

bonjour
je suis coincé dans cette question j ai besoin d aide s il vous plait
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2e^x-1}} definie sur ]-ln2,+\infty[
1) etudiez les variations de f
2)soit g la fonction définie  sur [0,\pi[ par g(x)=-ln(1+cosx)
a) montrez que g est une bijection de [0,\pi[ dans  ]-ln2,+\infty[
b) on pose \phi=g^{-1} montrez que \phi est dérivable sur ]-ln2,+\infty[ et que pour tout x de ]-ln2,+\infty[ \quad \phi'(x)=f(x)
3) soit  n\in \N^* on note F_n laprimitive de f^n sur [0 +\infty[ \quad F_n(0)=0
a) montrez que  \forall  x \in [0 +\infty[ \quaq F_1(x)=\phi(x)-\frac{\pi}{2}
b)determiner l expression de F_2(x) pour tout x \in [0 +\infty[
c)calculez L_1=limF_1(x) en +\infty et L_2=limF_2(x) en +\infty
4) a)verifier   pour tout x \in [0 +\infty[ f(x)+f(x)^3=-2f'(x)
b)montrez que \forall n \in  \N^* \quad \forall x \in \R^+\quad F_n(x)+F_{n+1}(x)=\frac2n(1-f(x)^n)
c)montrez par recurence \forall n \in \N^*F_n [/tex]la fonctionFn admet une limite finie L_n=lim F_n(x) en \+\infty et \forall n \in \N^*  ;   L_n+L_{n+2}=\frac2n
5) a)verifier que  \forall x \in [0+\infty[ ; 0<=f(x)<=1
 \\   et en déduire \forall  x \in [0+\infty[ \quad F_{n+1}(x)\leq F_n(x)
b)montrez que la suite (L_n)_n\in\N^* est decroissante puis en déduire sa limite
6) n entier naturel non nul u_n=(-1)^nL_{2n}    \quad  S_n= \sum(de 1 a  n )\frac{(-1)^{k+1}}{k}
a)montrez que u_{n+1}=u_n+\frac{(-1)^{n+1}}{n}
b)montrez que \forall n \N^* \quad  S_n=u_{n+1}+ln(2)
c)en deduire (S_n) est convergente et calculer sa limite

ceque j ai fait1)  f'(x)=\frac{-e^x}{(2e^x-1)*\sqrt{2e^x-1}} fest donc strictement decroissante  ]-ln2 +\infty[
2)a)   b)facile
 g(x)=y  \quad  x \in  [0,\pi[   \quad  y \in  ]-ln2 +\infty[ ssi g^-1 (y)=x
g^-1(y)'=\frac{1}{g'(x)}=\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{e^{-y}}{\sqrt{e^{-y}(2-e^{-y})}}=f(y) \quad \forall y \in]-ln2 +\infty[

dans 4)b) j ai fais l initialisation  je suis coincé dans l heridité

Posté par
carpediem
re : fonction et suite 08-01-22 à 13:39

salut

j'aimerai bien voir 2a/ : montrer que phi est dérivable ... et le détail pour arriver à f(y) ...

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 13:42

Bonjour,

As- tu fait la question 3) ?

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 13:55

salut
g(x)=-ln(1+cosx) ona g est derivable sur ]0\pi[ (composée de deux fonctions derivables)
g'(x)=\frac{sinx}{1+cosx}   \forall x \in ]0\pi[  g'    est non nul
donc \phi=g^-1 est derivable sur ]-ln2 +\infty[

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 14:12

4)

  

Citation :
b)montrez que \forall n \in  \N^* \quad \forall x \in \R^+\quad F_n(x)+F_{n+1}(x)=\frac2n(1-f(x)^n)


N'y aurait-il pas une erreur avec F_n(x)+F_{n+{\red 2}}(x) dans le premier membre ?

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 14:19

salut
c est exact je m excuse

montrez que  \forall n \in  \N^* \quad \forall x \in \R^+\quad F_n(x)+F_{n+2}(x)=\frac2n(1-f(x)^n)

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 14:21

s agit il d une recurence double ?  ona vu un exemple  l an dernier

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 14:24

Tu n'as toujours pas dit si tu avais fait 3) ?

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 14:28

salut
oui j ai fait   3)a)b)c)

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 14:35

Je pense que la récurrence ne concerne que l'existence de la limite L_n finie.

Tu peux considérer les cas pairs et impairs :

  Si L_{2p} existe et est finie, alors L_{2p+2}=\dfrac{1}{p+1}-L_{2p} (après passage à la limite dans la formule du 4)b))

Si L_{2p+1} existe et est finie ... même démarche.

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 16:52

salut
une question qui me preocupe
dans une recurence  ou on distingue  les cas n pair et n impair
si n est paire  donc n=2p le suivant c est 2p+1 ou 2p+2
de meme si n impair  n=2p+1 le suivant c est 2p+2 ou 2p+3
moi je vois que le suivant dans le premier cas c est 2p+2 puisque je ne prend que les n pair et dans le deuxieme cas c est 2p+3 puisqu on prend que les n impair  et merci

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 17:10

Citation :
moi je vois que le suivant dans le premier cas c est 2p+2 puisque je ne prend que les n pair et dans le deuxieme cas c est 2p+3 puisqu on prend que les n impair


C'est exactement ça :

Si n=2p, alors n+1=2p+2

Si n=2p+1, alors n+1=2p+3

On se retrouve à faire deux récurrences en parallèle mais il n'est pas question ici de récurrences "doubles" ou autres.

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 17:13

Mince!

Dans les deux cas il faut écrire :

Si  ...., alors n+2=\cdots.
Désolé !

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 17:37

merci lake

Posté par
lake
re : fonction et suite 08-01-22 à 17:43

De rien aya4545

Pour en revenir aux liens postés dans l'autre fil : ce ne sont pas tous des problèmes de "Bac C". Mais j'ai jugé qu'ils étaient instructifs et formateurs.
Tu pourras faire le tri

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 08-01-22 à 18:08

salut
merci lake
la banque de donnés des sujets postés dans l ile est tres important mais
une remarque c est que les titres des  ces sujets parfois ils   ne sont pas   significatifs  

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 09-01-22 à 09:46

bonjour
je suis toujours plantée dans 4)b) et la deuxieme partie de  4)c) le rest e  je l ai fait et bonne journée

Posté par
lake
re : fonction et suite 09-01-22 à 11:14

Bonjour,

4)b) On peut remarquer que f^n(t)+f^{n+2}(t)=-2\,f^{n-1}t)\,f'(t) (à toi de vérifier).

Egalité qu'on intègre sur [0,x]

4)c) On passe à la limite lorsque x\to +\infty dans la relation obtenue au 4)b)

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 09-01-22 à 16:56

merci lake
oui  il falait utiliser 4)a) chose que je n ai pas  pensé
merci

Posté par
aya4545
re : fonction et suite 09-01-22 à 20:58

salut
on démntrerai de meme
 \forall n \in  \N^* \quad \forall x \in \R^+\quad F_n(x)+F_{n+2}(x)=\frac2n(1-f(x)^n)
en montrant que   les dérivées des deux  membres sont egales donc ces deux membres son egaux a une constante pres   et apres on montre que cette constante est nulle sur un intervalle determiné

Posté par
lake
re : fonction et suite 09-01-22 à 22:54

Oui, mais c'est exactement le même principe



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !