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Niveau terminale
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fonction exp

Posté par
frufru
10-06-07 à 10:39

Bonjour, pourriez vous maider a faire cet exercice de révision que notre prof nous a donné pour nous entrainer pour le bac de la semaine prochaine, merci

L'objet de cette question est de démontrer que lim exp(x)/x= +infini.
On supposera connus les résultats suivants :
•La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée ;
•e0 = 1 ;
•pour tout réel x, on a exp(x) > x ;
•soient deux fonctions et définies sur l'intervalle [A, +[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [A, +infini[ (x) <(x)
et si lim (x)= +inifini alors lim (x)= +.
a)on considère la fonction g définie sur [0, +[ par
g(x) = exp(x) - x²/2
Montrer que pour tout x de [0,+[, g(x) 0.

On appelle f  la fonction définie sur [0, +[ par f(x) = 1/4*xexp(-x/2).

a)Montrer que f est positive sur [0,+[.
b)Déterminer la limite de f en +. En déduire une conséquence graphique pour C.
c)Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0, +[.

On considère la fonction F définie sur [0, +[ par
F(x) = f(t) dt (entre x et 0).
a)Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [0, +[.
b)Montrer que F(x) =1-exp(-x/2) - (x/2)*exp(-x/2).
c)Calculer la limite de F en + et dresser le tableau de variations de F sur [0, +[.
d)Justifier l'existence d'un unique réel positif tel que F() = 0,5.
A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de à 10-2 par excès.

4) Soir n un entier non nul. On note An l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites d'équation x = 0 et x =n.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que An 0,5.

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : fonction exp 10-06-07 à 11:49

Bonjour frufru,

où est ton problème?

Posté par
Pit à Gore Correcteur
re : fonction exp 10-06-07 à 14:11

Bonjour frufru
Avez vous essayé au moins de résoudre votre pb et si oui avez vus quelques élements à présenter?
Pythagore

Posté par
frufru
re : fonction exp 10-06-07 à 15:10

mon probleme que je rencontre et de :
Déterminer la limite de f en +infini . En déduire une conséquence graphique pour C.

voici ce que jai fais:

f(x) = 1/4 x exp(-1/2x)

javais pensé a dire que x*exp(-1/2x) = x/exp(1/2x)

et comme lim exp(x)/(x) = + infini
        x tend vers +infini

alors lim x/exp(1/2x) = 0
      x tend vers + infini

et donc lim f(x) = 0
      x tend vers + infini

car 1/4*0 = 0. et donc asymptote horizontale d'équation y = 0 est ce cela?

Posté par
frufru
re : fonction exp 10-06-07 à 15:38

et apres ce qui me pose probleme; cest quand il demande:
Montrer que F(x) =1-exp(-x/2) - (x/2)*exp(-x/2).
je sais quil faut faire une integration par parties:

F(x) = f(t) dt (entre x et 0)

soit F(x) = 1/4 t exp(-t/2) dt.
= 1/4 t exp(-t/2) dt

on pose u(t) = t dou u'(t) = 1.
v'(t) = exp(-t/2) donc v(t) = ?? je ne me souviens plus la primitive de exp.
je sais juste que la primitive de exp(-t) = - exp(-t).

Posté par
Pit à Gore Correcteur
re : fonction exp 10-06-07 à 15:42

Re
votre raisonnement sur la lim de (1/4)*x*e^(-x/2) est correct et effectivementvous pouvez faire un changement de variable (x/2)=X et ce sera encore plus clair
Par ailleurs la primitive de e^x est la fonction elle même à une cte près
et celle de e^(-x)=-e^(-x)
A plus
Pythagore

Posté par
frufru
re : fonction exp 10-06-07 à 16:11

oui mais alors la primitive de exp(-t/2)  est ??

la derivee est égal a : -1/2*exp(-t/2)

Posté par
Pit à Gore Correcteur
re : fonction exp 10-06-07 à 19:32

La primitive de e^(-1/2)x est de toute évidence -2*e^(-t/2) c'est la primitive parmi les plus lassiques du programme
Si vous dérivez -2*e^(-t/2) vous "tomberez" sur la fonction e^(-1/2)x
A plus



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