Niveau terminale

fonction exponentiel

Posté par killer (invité) 25-10-04 à 12:32

bonjours a tous
mon prof de math vient de nous donner un exo qui me parait un peu dur c'est pour cela que j'ai besoin de votre aide
merci d'avance !

voici la fonction : g(x) = 1-(x²-2x+2)exp(-x)

1) etudier les limites en + et - l'infinie
2) calculer la dérivé de g et determiner son signe
3) en déduir le tableau de variation
4) demontrer que l'equation g(x)=0 admet une solution unique dans R d'amplitude 10-²
donner un encadrement
5) en deduir le signe de g

je vous remerci pour votre aide !
:)

Posté par re : fonction exponentiel 25-10-04 à 13:03

Bonjour

1) $\lim_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty$

$\lim_{x\to -\infty} x^{2}-2x+2=+\infty$

On en déduit que :
$\lim_{x\to -\infty} (x^{2}-2x+2)e^{-x}=+\infty$

donc :
$\lim_{-\infty} g= -\infty$ ( ne pas négliger le - devant le second termet )

Pour le calcul en + oo on va dévellopper

$g(x)=1-(x^{2}-2x+2)e^{-x}=1-x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+2e^{-x}$

Maintenant rappellons une petite propriété bien utile ici :

$\lim_{x\to -\infty} x^{n}e^{x}=0$

Donc ici :

$\lim_{x\to +\infty} -x^{2}e^{-x}=0$
$\lim_{x\to +\infty} 2xe^{-x}=0$
$\lim_{x\to +\infty} 2e^{-x}=0$

On en déduit donc :
$\lim_{+\infty} g=1$

2) $g'(x)=(x^{2}-2x+2)e^{-x}-(2x-2)e^{-x}=e^{-x}(x^{2}-4x+4)=(x-2)^{2}e^{-x}$

on en déduit que g' est positive sur $\mathbb{R}$

On a donc le tableau de variation suivant :

$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&&&&&+\infty \\{g'(x)}& &&&+&&&\\{g}&&&&\nearrow&&&&\\\end{tabular}$

On combinant le calcul de limite et le tableau de variation on déduit que g induit une bijection de $\mathbb{R}$ sur ] $-\infty$ ;1[ .

$0\in$ ] $-\infty$ ;1[ donc l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur $\mathbb{R}$

Tu n'as plus qu'a utiliser ta calculatrice pour la valeur approché et pour le signe de g aucune grande difficulté lorsqu'on connait l'existence de cette solution

Bon courage

Posté par killer (invité)remerciment 26-10-04 à 13:35

salut c moi
merci infiniment de ton aide

et je te dit a bientôt
++

merci encors !!

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