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Fonction exponentielle
Bonjour j'ai un DM a faire pour lundi, j'ai fais déjà les 3 autres exos, mais la celui la je sèche. Pourriez vous m'expliquer comment faire?
Voila le sujet
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j).
1. On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle x=e^x. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
2. Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur 
, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t, 0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses.
a. Calculer la distance PN en fonction de f(t) et de f'(t).
b. Déterminer une équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f définies sur , strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k.
c. Déterminer les fonctions f solutions de (Ek)
Merci beaucoup à ceux qui pourront m'aider.
1. déterminons les coordonnées du point N:
équation de la tangente à C en M:
Y = f(t)+(X-t)f'(t)
Y = et+(X-t)et
Y = (1+X-t)et
N est le point d'intersection de t avec axe abscisse:
Y = 0 et X = t-1
D'ou: M(t,et), P(t,0) et N(t-1,0)
PN = |t-1-t|= 1
Donc la distance PN est constante = 1.
2. a)Equation de la tangente à C en M:
Y = f(t)+(X-t)f'(t)
Coordonnées de N: YN=0
f(t)+(XN-t)f'(t)=0
PN =
b) PN = k alors f vérifie: , cad: (k non nul)
f(t)=kf'(t) ou encore:
(Ek): f'(t)=
c) solutions de Ek:
f(t)=Aet/k, ou A est un réel quelconque.
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