Bonjour


c'est à dire :
avec o(h) une quantité négligeable devant 0


Jord

est ce que o(h) est forcément positif?

puisqu'on peut prouver facilement que

oublies le o(h) et écrit juste exp(h)=1+h au voisinage de 0

J'ai une question pour les profs où pédagogues qui passent dans ce topic , peut on en premiére ou en term. lorsqu'on voit l'approximation affine l'utiliser dans le calcul de limite tout comme on utilise les développement limités en sup. ?


Jord

Non o c'est une fonction que tu ne connais pas.
En l'occurence ici, ce sera positif.
Si tu veux montrer que exp(x)>1+x tu as plusieurs possibilités simples, en vrac:

-étudie exp(x)-x-1

-si on dérive 2 fois exp, on trouve exp"=exp>0 notamment exp est une fonction convexe, et donc toute tangente reste sous la courbe. Or 1+x est la tangente à exp en 0, donc elle reste toujours sous la courbe de exp, d'où le résultat.

J'aime bien la deuxiéme démo otto


Jord

Night:
tu as le droit, et d'ailleurs tu le fais lorsque tu dis que sin(x)/x->1 par exemple. (pour x->0)

Certes , mais ce résultat est admis . Et lorsqu'ils le démontrent , ils passent par le taux de variation et la définition du nombre dérivée . Donc c'est vrai qu'en soit ils passent aussi par l'approximation affine mais ils ne le voient pas comme tel .


jord

oui j'ai bien compris, mais ma question s'addressait uniquement à ce cas précis.


je sais que o(h) est une fonction qui tend vers 0 quand h tend vers 0.

c'est quoi les dvp limités utilisés en sup?

Avec le nouveau programme je pense que ce résultat est démontré en fait, mais je n'en suis pas sur.

"c'est quoi les dvp limités utilisés en sup?"
Ce sont les mêmes que ceux qui sont utilisés dans les autres établissements

Un développement limité, c'est une approximation polynômiale de ta fonction en un certain point. Sous certaines conditions de régularité sur la fonction, on peut avoir une approximation plus ou moins précise.

bah on peut le démontrer:

on montre que

2x/pi < sin x < x  en utilisant les fonctions f définies par f(x)=x-sinx et g(x)=sinx-2x/pi


et  que

1- (2x/pi) < cos x < pi/2  - x

puis que

x < tan x


on a donc

tan x < x < sin x

donc

1 < x/sinx < tanx/sinx
1 < x/sinx < 1/cosx

donc x/sinx   tend vers 1 quand x tend vers 0

l'aprox afine c'est :

f(x+h) = f(x) + hf'(x) + h.o(h)

o(h) étant unne fonction qui td vers 0 quand h td vers 0


non?

Avec Mac laurin (ou Taylor-Young en 0) on obtient :
d'où l'approximation affine en 0


Jord

Oui, c'est exactement ca, mais attention à ton écriture un peu maladroite:
soit on note he(h) avec e une fonction qui tend vers 0 en 0.
soit on note o(h).
la fonction o a une signification bien précise en maths qui perd sont sens dans ta notation.
Etre o(h) c'est etre une fonction ayant un certain comportement
Etre o(h²) c'est etre une fonction ayant un autre comportement.
Il me semble qu'être ho(h) c'est également etre o(h²), auquel cas avec tes notations ce serait faux.
Attention donc.
f=o(g) en a si f/g->0 en a.
Notamment
o(h) veut dire que o(h)/h->0 en a.

ho(h)/h²=o(h)/h->0 notamment on a donc bien que ho(h)=o(h²).

nightmare, tu peux mexpliquer ta formule stp?

Oula, attention à ne pas tout confondre:
mac laurin et young ne disent pas la même chose.
Ensuite attention, tu ne déduis pas l'approximation affine grace à cette formule, c'est plutot l'inverse qui se passe.
D'ailleurs tu peux avoir une fonction qui n'admet pas de dl à l'ordre 2 et qui en admet un à l'ordre 1.

o(x) est la notation de Landau , elle est abordé dans le cadre de l'étude de la prépondérance et de la domination de fonctions .

Pour ce qui est de la formule , sans utiliser la somme on obtient :



Jord

Non , ils ne disent pas la même chose Otto , mais la formule que j'ai explicité peut se déduire de leurs deux formules (mieux en partant de celle de Taylor Young) .
Oui , c'est vrai pour ce qui est de l'approximation affine , autant pour moi .


Jord

mac laurin dit quant à lui qu'il existe un c sur [0;x] tel que :



Jord

n ne dépend pas de k?

pourquoi il dépendrait de k ? k c'est ce qui varie dans la somme

mais n est fixé?

t'aurais un exemple stp?

Oui n est fixé , ça s'appelle l'ordre du développement limité . En l'occurence une approximation affine est un développement limité à l'ordre 2 .

Par exemple , on a :




On obtient alors le DL de sin(x) à l'ordre 3 au voisinage de 0 :

c'est à dire :



Jord

Le développement affine est le développement limité à l'ordre 1 et pas 2, sinon ce serait plutôt un "développement quadratique" (?)

Tu remarquera alors qu'on obtient :

Or on a :

ainsi :

Vive les DL


jord

Oui , autant pour moi otto , labsus


jord