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fonction exponentielle

Posté par vodes (invité) 27-11-05 à 12:04

Bonjour a tous, j'ai un gros problème avec un exercice de math je n'y comprend absolument rien j'ai seuleument fait la 1ère question et après je bloque ( c'est surtout 1!;2!,..,n! que je ne comprend pas ) est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait merci d'avance.

Pour n1, on définit sur I = [0;1] la fonction f par : f(x)= -e-x(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}), avec n! = 1*2*(n-1)n.

1°) a) Calculer f'(x)

J'ai trouvé f'(x) = e-x( 1 + \frac{x-1}{1!} + \frac{x^2-2x}{2!} + \frac{x^n - nx}{n!})

b) Determiner les variations de la fonction f sur I.
C) En déduire f(0)f(1).

2°) a) Démontrer que pour tout x appartenant a I, f'(x)\frac{1}{n!}.

b) Etudier les variations de la fonction g définie sur I par g(x) = f(x) - \frac{x}{n!}.

c) En déduire que f(1)f(0) + \frac{1}{n!}.

3°) On définit pour tout n, Vn = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!}.

a) Déduire des questions précédentes que pour tout n, e(1-\frac{1}{n!})Vne.

b) Montrer alors que pou tout n, 0e-Vn\frac{3}{n!}. Conclure quant à la limite de la suite v.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction exponentielle 27-11-05 à 13:37

Bonjour,

Tes dérivées sont fausses.
Depuis quand la dérivée de x est-elle x-1 ?

(\frac{x^k}{k!})'
=(\frac{x^k}{k(k-1)(k-2)...2.1})'
=\frac{kx^{k-1}}{k(k-1)(k-2)...2.1}
=\frac{x^{k-1}}{(k-1)(k-2)...2.1}
=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}
(attention : il y a des "primes" de dérivation sur les 2 premières lignes)

Nicolas

Posté par
littleguyre : fonction exponentielle 27-11-05 à 13:54

Bonjour.

Il me semble que la dérivée de vodes était "presque" correcte mais non pertinente par rapport à la question.

Il avait utilisé :

f'(x)=e^{-x}(1+\frac{x}{x!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!})-e^{-x}(\frac{1}{1!}+\frac{2x}{2!}+...+\frac{nx^{n-1}}{n!})

f'(x)=e^{-x}(1+\frac{x-1}{x!}+\frac{x^2-2x}{2!}+...+\frac{x^n-nx^{n-1}}{n!})

il est évidemment plus adroit de remarquer que \frac{nx^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}, puisque dès la première ligne on s'aperçoit que baeucoup de termes se "neutralisent".

Posté par
littleguyre : fonction exponentielle 27-11-05 à 13:55

Lire aux premiers dénominateurs 1! et non x!

Posté par vodes (invité)re : fonction exponentielle 27-11-05 à 16:04

merci pour la correction apportée a ma dérivée.
pour le signe de f'(x) pour la fonction exponentielle ça va  mais c pour (1 +\frac{x-1}{1!} + ....) que je ne sais pa comment montrer les signes ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction exponentielle 27-11-05 à 16:09

Quelle expression de la dérivée trouves-tu finalement, après les simplifications en cascade ?

Posté par vodes (invité)re : fonction exponentielle 28-11-05 à 17:53

je trouve f'(x) = e-x(1+ \frac{x-1}{1!} + \frac{x^2-2x}{2!} + ... + xn\frac{x^n-1}{(n-1)!})

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction exponentielle 29-11-05 à 04:48

Non.

f(x) = -exp(-x)[1+x/1!+...+x^n/n!]

f'(x) = exp(-x)[1+x/1!+...+x^n/n!] - exp(-x)[1+x/1!+...+x^(n-1)/(n-1)!]

= exp(-x).x^n/n!

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par vodes (invité)re : fonction exponentielle 03-12-05 à 14:38

j'ai refai le calcul et je trouve ça merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction exponentielle 03-12-05 à 17:05

Je t'en prie.


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