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Fonction exponentielle

Posté par
zartos 28-02-17 à 09:33

Bonjour,

J'ai besoin d'aide sur la question 2)d/ de cet exercice :

Soit f la fonction définie sur [1, +\infty[ par: f(x)=\sqr{1+x}  e^{-x} et C sa courbe représentative.

1) A partir d'une lecture graphique déterminer :

\lim_{x \rightarrow (-1)^{+}} \dfrac{f(x)}{x-1} (0)

f'(-\dfrac{1}{2}) (0)

\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) (+\infty)

b) Dresser le tableau de variation de f.

2) Soit \alpha un réel supérieur ou égal à 1. On note S(\alpha) l'aire délimitée par C, l'axe des abscisses et les axes x=1 x=\alpha

a) Ecrire S() sous la forme d'une intégrale.

b) Montrer que pour tout x de 1+x \le e^{x}

c) En déduire que pour tout x\ge -1:

f(x) \le \dfrac{e^{-x}}{2}

d) Montrer que pour tout \alpha \ge -1 on a:

0 \le S(\alpha) \le \dfrac{2}{\sqr{e}}

Merci d'avance.

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 09:40

Voici la courbe de f:

Fonction exponentielle

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 10:01

Bonjour,
Joli le graphique

1 au début de 2). Que penser de -1 du d) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 10:35

L'énoncé de c) est mal écrit : Ce n'est pas (e-x)/2 mais e-x/2 .

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 10:54

Bonjour Sylvieg,

Oui je suis désolé c'est bien e-x/2 dans c).

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 11:02

Citation :
Que penser de   -1  du d) ?


La seule idée qui m'est venue à l'esprit est d'écrire \int_{-1}^{1} f(t) dt + S(\alpha)

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 11:36

Bonjour,

Citation :
Soit f la fonction définie sur [1, +\infty[


Il est probable que ton domaine pour f est [-1,+\infty[

Citation :
1) A partir d'une lecture graphique déterminer :

\lim_{x \rightarrow (-1)^{+}} \dfrac{f(x)}{x-1} (0)

f'(-\dfrac{1}{2}) (0)

\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) (+\infty)


Pour la première limite, il est aussi probable qu' il y a plutôt un x+1 au dénominateur.

La dernière vaut 0 et non pas +\infty

2)d) S(\alpha)=\int_1^{\alpha}f(x)\,\text{d}x\leq \int_1^{\alpha}e^{-\frac{x}{2}}\,\text{d}x d' après la question précédente.

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 11:44

Bonjour lake,

Oui j'en suis désolé aussi c'est -1 dans le domaine de définition et 0 en \infty ( c'est assez évident d'ailleurs d'après la courbe).

Sinon, c'est bien (x-1) dans la première limite.

Citation :
\int_1^{\alpha}e^{-\frac{x}{2}}\,\text{d}x


Mais c'est en fonction de \alpha ça non?

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 11:59

Le x-1 est certainement une erreur d' énoncé mais si on te la donné comme ça, tu n'y peux rien...

Citation :
Mais c'est en fonction de \alpha ça non?


Et alors ? L' expression obtenue se majore (mais il faut la calculer).

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 12:25

>>Sylvieg

Je ne suis intervenu que pour rectifier des erreurs /de zartos /d' énoncé dans la première question. J' ai mis mon grain de sel en passant dans la 2)d)

Et puis je connais bien zartos

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 12:28

Citation :
Le x-1 est certainement une erreur d' énoncé mais si on te la donné comme ça, tu n'y peux rien...


Ce n'est pas une forme indéterminée vu que f(-1) = 0 et on a -2 au dénominateur non?

J'ai trouvé S(\alpha) \le -2(e^{-\frac{\alpha}{2}} - e^{-\frac{1}{2}}) et après j'ai essayé de majorer en partant de \alpha \ge -1 et ça m'a mené nulle part.

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 12:35

Voyons, tu m' écris en fait:

S(\alpha) \leq \underbrace{\dfrac{2}{\sqrt{e}}-2\,e^{-\frac{\alpha}{2}}}_{\leq \dfrac{2}{\sqrt{e}} }

Non ?

Citation :
Ce n'est pas une forme indéterminée vu que f(-1) = 0 et on a -2 au dénominateur non?


On est d' accord, mais c' est ce qui me fait douter de ton énoncé.

Pour le fun, tu peux reprendre la question avec un signe +. Et là, (avec une forme indéterminée), le graphique est bien utile...

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 12:49

Ah j'ai pas remarqué que 2e^{(-\frac{1}{2})} = \frac{2}{\sqrt{e}} ...

Citation :

Pour le fun, tu peux reprendre la question avec un signe +. Et là, (avec une forme indéterminée), le graphique est bien utile...


Oui, ce serait sûrement plus intéressant.

Merci à tous!

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 12:50

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 13:18

Bonjour lake,
Pas de problème pour des interventions pertinentes, même plus importantes que des grains de sel

zartos,
Essaye de penser à relire tes énoncés avec le bouton "Aperçu" et à les vérifier avant de poster...

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 15:00

Sylvieg c'est clair

Sinon, je me suis encore planté à la dernière question

Voici le reste de l'énoncé:

3) On pose I = \int_{-1}^{1} \sqrt{1+x}  dx et A_n = \int_{-1}^{1} \sqrt{1+x}   e^{-\frac{x}{n}}   dx

a) Calculer I.    (\dfrac{4\sqrt{2}}{3})

b) Montrer que pour tout n de N^{*} : 1 - e^{\frac{1}{n}} \le e^{-\frac{1}{n}} - 1

c) En déduire que pour tout x de [ -1 , 1 ]   \mid e^{-\frac{1}{n}} - 1 \mid  \le  e^{\frac{1}{n}} -1

d) Montrer que \mid A_n - I \mid \le \frac{4\sqrt{2}}{3}(e^{\frac{1}{n}} -1)

Ca ressemble beaucoup au théorème des accroissements finis mais je n'ai pas trouvé le rapport.

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 17:17

Tu devrais relire tes énoncés:

b) est faux

c) Pas de x dans l' inégalité...

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 17:24

d)En gros, la valeur absolue d' un intégrale est inférieure ou égale à l'intégrale de la valeur absolue. Et tu utilises c) ensuite.

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 17:51

Je sais pas ce qui m'arrive aujourd'hui... Je suis encore désolé...

c) En déduire que pour tout x de [ -1 , 1 ]   \mid e^{-\frac{x}{n}} - 1 \mid  \le  e^{\frac{1}{n}} -1

Sinon b) est correct

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 28-02-17 à 18:55

Oui, excuse moi, tu as raison pour b)

Tu as réussi d) ?

Posté par
zartosre : Fonction exponentielle 28-02-17 à 20:31

Citation :

Tu as réussi d) ?


Oui !!

Merci infiniment

Posté par
lakere : Fonction exponentielle 01-03-17 à 18:08


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