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fonction exponentielle
Partie A :
Soit la fonction f définie sur R par : f(x)= x + 1/(2(e^x +1))
C désigne sa courbe réprésentative.
1°) Déterminer les limites de f en -
et en +.
2°)a. Démontrer que la droite D1 d'équation y=x est asymptote à la courbe C au voisignage de +.
b. Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite D1.
3°) Pour tout réel x, M désigne le point de C d'abcisse x et M' le point de C d'abscisse -x.
a. Déterminer, en fonction de x, les coordonnées du point I milieu du segment [MM'].
b. Que constate-t-on? Q'en déduit-on pour la courbe C?
4°)a. Vérifiez que pour tout réel x :
f(x)=x+(1/2)- e^x/(2(e^x + 1))
b. Démontrer que la droite D2 d'équation y=x+ 1/2 est asymptote à la courbe C au voisignage de -.
c. Etudier la position de la courbe de C par rapport à la droite D2.
5°) Soit f' la dérivée de f.
Vérifier que pour tout réel x :
f'(x)=(2e^2x + 3e^x +2)/(2(e^x + 1)²)
Montrer que pour tout réel x, f'(x) supérieur à 0
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
Partie B :
Soit g la fonction définie sur R par :
g(x)=1/(2(e^x +1))
1. Vérifier que pour tout réel x :
g(x)=e^-x/(2(1+e^-x))
2. En déduire une primitive G de la fonction g sur R.
Merci beaucoup à ceux qui sauront m'aider.
salut
1°) Déterminer les limites de f en - et en +
en +
lime^x=+00
x
+
donc lim1/(2(e^x +1))=0
x +
d'ou limx + 1/(2(e^x +1))=+
x+
lim e^x=0
x-
donc lim1/(2(e^x +1))=1/2
x-
donc limx + 1/(2(e^x +1))=-
x-
donc la dte d'equation y=x est asymptote à la courbe C au voisignage de +
Salut gtt39
1.
lim f(x) en +oo=+oo et lim f(x) en -oo=-oo
2.a.
f(x)-x=1/(2(e^x +1))
donc lim (f(x)-x) en +oo=lim 1/(2(e^x +1)) en +oo =0
donc la droite y=x est asymptote à C en +oo.
2.b.
f(x)-x=1/(2(e^x +1))>0 pour tout x
donc la courbe C est au dessus de son asymptote.
3.
I(xI,yI)
où xI=0 et yI=(y+y')/2=(f(x)+f(-x))/2=1/(2(e^x +1))+1/(2(e^-x +1))
donc yI=1/2
4.a.
On a:
1/(2(e^x +1))=1/2-e^x/(2(e^x +1))
donc f(x)=x+(1/2)- e^x/(2(e^x + 1))
4.b.
f(x)-(x+1/2)= - e^x/(2(e^x + 1))
donc lim (f(x)-(x+1/2)) en -oo= lim (- e^x/(2(e^x + 1))) en -oo=0
donc la droite D2 est asymptote à C en -oo.
4.c.
f(x)-(x+1/2)= - e^x/(2(e^x + 1))<0
donc la courbe est au dessous de D2.
5.
Je te laisse trouver f' et comme exp>0 sur R alors f'(x)>0
donc f est croissante.
Avec tout ce qui a été fait, tu peux avoir le tableau de variation "complet".
Partie B
1.
g(x)=1/(2(e^x +1))=1/[2e^x(1+e^-x)]=e^-x/(2(e^-x +1))
2.
Une primitive G de g est:
G(x)=-1/2 *ln(1+e^-x)
Voila
Joelz
b)on a montre que lim1/(2(e^x +1))=1/2
x-
donc limf(x)-(x+1/2)=lim1/(2(e^x +1))-1/2=1/2-1/2=0
lorsque x-
donc la droitev D2 d'equation y=x+1/2 est asymptote à la courbe C au voisignage de -
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