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fonction exponentielle

Posté par
Zamata
25-02-19 à 18:19

Bonjour je dois faire cet exercice mais je suis bloquée et pas sûre de mes résultats. Pourriez vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé :
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =1/2(x+(1-x)e2x)
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; ı⃗ ; ȷ⃗).
1a) Déterminer les limites de f en −inf et en +inf.
1b) Étudier la position de Cf par rapport à la droite (d) d'équation y =0.5x

2) Calculer f'(x) pour tout nombre x de R.

3) Soit u la fonction définie sur R par u(x) = 1 + (1 − 2x)e2x

3a) Étudier le sens de variation de u
3b) Montrer que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique ∝ sur R.
3c) Déterminer une valeur décimale approchée par excès de ∝ à 10-2 près.
3d) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
4) Déterminer le tableau de variations de f.

Pour l'instant, j'en suis la :

1) a)

limite en -inf :

lim ex = 0+ donc lim e2x = 0+
lim(1-x) = + inf
donc lim (1-x)e2x = 0+
lim x+(1-x)e2x= -inf

Limite + inf :
FI de type "- inf +inf "
0.5(x+e2x-xe2x) = 0.5x + 0.5e2x -0.5xe2x
0.5e2x(x/e2x+1-x)
lim x-ex = 0+ d'après le théorème des croissances comparées
lim(x/e2x+1-x = - inf
lim 0.5e2x= +inf
donc lim f(x) = - inf


Voilà ce que j'ai trouvé pour l'instant est ce que c'est correct ?
Merci d'avance pour votre aide  
Zamata

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 18:25

pour la question 1)b), je sais que l'on doit faire f(x)-y
donc 0.5(x+(1-x)e2x)-0.5x

Le problème c'est que je n'arrive pas à résoudre, je suis arrivée à 0.5(e2x-1-x)) et je suis bloquée. J'ai fait une erreur de calcul ?

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 18:37

Bonsoir

comment arrivez-vous à ce résultat ?

0,5x+0,5(1-x)\text{e}^{2x}-0,5x=+0,5(1-x)\text{e}^{2x}

le signe ne devrait pas poser de problème

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 18:44

J'ai juste fait f(x) - y et j'ai remplacé par les valeurs de l'énoncé

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 18:47

non car là où il y avait une multiplication on trouve une addition

0.5(e2x(1-x))

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 19:04

Je ne comprends pas où vous voulez en venir donc j'ai refait tout le calcul :
0.5 (x+ (1-x) e2x) -0.5x
0.5 ((x+ (1-x) e2x) - x)
0.5 ((x + e2x -xe2x) -x)
0.5x + 0.5e2x - 0.5xe2x-0.5x
0.5e2x - 0.5xe2x
e2x (0.5-0.5x)

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 19:19

là d'accord mais que de travail inutile

je vous avais écrit en rouge l'erreur que vous avez faite   vous avez mis un signe - alors que c'était une parenthèse

j'enlève la première parenthèse donc distribution du 1/2

puis simplification  1/2x-1/2x=0  

0,5x+0,5(1-x)\text{e}^{2x}-0,5x=+0,5(1-x)\text{e}^{2x}

on a bien 0,5(1-x)\text{e}^{2x}

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 19:37

Ah d'accord merci et est ce que mes limites sont bonnes ?

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 19:39

oui -\infty en \pm\infty

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 20:06

D'accord
Pour la question 2 j'ai
f(x) = 0.5 (x+(1-x)e2x)
(eu(x))' = u'(x)*eu(x)
donc u = 2x et u' = 2
Ainsi
(uv)' = u'v+uv'
u=1-x       v=e2x
u'= -1       v' = 2e2x
(uv)' = 3e2x-2xe2x
Pour finir,
(UV)' = U'V + UV'
U = 0.5    V = x+ (1-x)e2x
U' = 0       V' = 1+3e2x-2xe2x
Donc f'(x) = 0.5 (1+3e2x-2xe2x) = 0.5 +3/2 * e2x+xe2x

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 25-02-19 à 20:22

vous avez presque la réponse  à la question d'après

d'où vient le 3 ?

f(x)=0,5\bigg(x+(1-x)\text{e}^{2x}\bigg)

f'(x)=0,5\bigg(1+(-1)\text{e}^{2x}+2(1-x)\text{e}^{2x}\bigg)

f'(x)= 0,5\bigg(1+\text{e}^{2x}\left(2(1-x)-1\right)\bigg)

f'(x)= 0,5\bigg(1+(1-2x)\text{e}^{2x}\bigg)

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 26-02-19 à 17:46

Ah oui j'ai fait une erreur de signe

Du coup  pour la 3a j'ai fait aussi la dérivée pour pouvoir faire un tableau de signe  :
U(x) = 1+(1-2x)e2x
(uv)'= u'v+ici
u=1-2x       v=e2x
u'= -2           v' = 2e2x
U'(x) = -2e2x +(1-2x)2e2x
= -2e2x + 2e2x- 4xe2x
= -4xe2x

D'où le tableau

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 26-02-19 à 17:50

X    -inf                       0                                 +inf
-4x                +            0                -
e2x              +                           +
u'(x)              +            0                -
u(x)         croissant               décroissant

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 26-02-19 à 18:22

il aurait été intéressant que vous mettiez l'image de 0 par u ainsi que les limites
prélude à l'usage du théorème des valeurs intermédiaires  
le tableau est sinon correct

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 26-02-19 à 18:55

Oui oui je les ai mis

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 26-02-19 à 18:55

Merci pour votre aide!

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 26-02-19 à 19:01

\alpha ?


pour vérification

fonction exponentielle

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 17:27

J'ai trouvé la même courbe que vous et mon tableau de variation donne ça aussi
Par contre mon alpha vaut 0.2  c'est normal ?

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 17:44

c'est bien la courbe de u \ u(\alpha)=0 \quad \alpha \approx 0,639232

ce qui correspond bien au graphique

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 17:49

Ah bah d'accord merci

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 17:53

passons à  f maintenant

 f'(x) a été calculé en 2

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 18:24

X          -inf                0.2                      +inf
0.5                     +                        +
u(x)                    +         0            -
f(x)                     +                        -
Var f       croissant   0.12   décroissant

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 18:29

comment avez-vous trouvé 0,2 pour \alpha d'ailleurs dans le tableau il vaut mieux garder \alpha

fonction exponentielle

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 18:42

C'était ma valeur approchée l'alpha mais du coup je vais laisser la valeur exacte

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 18:47

vous avez bien vu qu'une valeur approchée de \alpha est  0,639 bien loin de 0,2

comment avez-vous trouvé 0,2 ?

en traçant la courbe représentative de f  on a bien le sommet pour x\approx 0,6

fonction exponentielle

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 21:19

Ah oui effectivement je viens de le refaire avec ma calculatrice et j'ai bien obtenu 0.6

Posté par
hekla
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 21:53

Avez-vous des questions ?

Posté par
Zamata
re : fonction exponentielle 27-02-19 à 22:05

Non c'est bon je pense avoir compris
Merci !



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