Bonjour je dois faire cet exercice mais je suis bloquée et pas sûre de mes résultats. Pourriez vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé :
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =1/2(x+(1-x)e2x)
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; ı⃗ ; ȷ⃗).
1a) Déterminer les limites de f en −inf et en +inf.
1b) Étudier la position de Cf par rapport à la droite (d) d'équation y =0.5x
2) Calculer f'(x) pour tout nombre x de R.
3) Soit u la fonction définie sur R par u(x) = 1 + (1 − 2x)e2x
3a) Étudier le sens de variation de u
3b) Montrer que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique ∝ sur R.
3c) Déterminer une valeur décimale approchée par excès de ∝ à 10-2 près.
3d) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.
4) Déterminer le tableau de variations de f.
Pour l'instant, j'en suis la :
1) a)
limite en -inf :
lim ex = 0+ donc lim e2x = 0+
lim(1-x) = + inf
donc lim (1-x)e2x = 0+
lim x+(1-x)e2x= -inf
Limite + inf :
FI de type "- inf +inf "
0.5(x+e2x-xe2x) = 0.5x + 0.5e2x -0.5xe2x
0.5e2x(x/e2x+1-x)
lim x-ex = 0+ d'après le théorème des croissances comparées
lim(x/e2x+1-x = - inf
lim 0.5e2x= +inf
donc lim f(x) = - inf
Voilà ce que j'ai trouvé pour l'instant est ce que c'est correct ?
Merci d'avance pour votre aide
Zamata
pour la question 1)b), je sais que l'on doit faire f(x)-y
donc 0.5(x+(1-x)e2x)-0.5x
Le problème c'est que je n'arrive pas à résoudre, je suis arrivée à 0.5(e2x-1-x)) et je suis bloquée. J'ai fait une erreur de calcul ?
Je ne comprends pas où vous voulez en venir donc j'ai refait tout le calcul :
0.5 (x+ (1-x) e2x) -0.5x
0.5 ((x+ (1-x) e2x) - x)
0.5 ((x + e2x -xe2x) -x)
0.5x + 0.5e2x - 0.5xe2x-0.5x
0.5e2x - 0.5xe2x
e2x (0.5-0.5x)
là d'accord mais que de travail inutile
je vous avais écrit en rouge l'erreur que vous avez faite vous avez mis un signe alors que c'était une parenthèse
j'enlève la première parenthèse donc distribution du 1/2
puis simplification
on a bien
D'accord
Pour la question 2 j'ai
f(x) = 0.5 (x+(1-x)e2x)
(eu(x))' = u'(x)*eu(x)
donc u = 2x et u' = 2
Ainsi
(uv)' = u'v+uv'
u=1-x v=e2x
u'= -1 v' = 2e2x
(uv)' = 3e2x-2xe2x
Pour finir,
(UV)' = U'V + UV'
U = 0.5 V = x+ (1-x)e2x
U' = 0 V' = 1+3e2x-2xe2x
Donc f'(x) = 0.5 (1+3e2x-2xe2x) = 0.5 +3/2 * e2x+xe2x
Ah oui j'ai fait une erreur de signe
Du coup pour la 3a j'ai fait aussi la dérivée pour pouvoir faire un tableau de signe :
U(x) = 1+(1-2x)e2x
(uv)'= u'v+ici
u=1-2x v=e2x
u'= -2 v' = 2e2x
U'(x) = -2e2x +(1-2x)2e2x
= -2e2x + 2e2x- 4xe2x
= -4xe2x
D'où le tableau
il aurait été intéressant que vous mettiez l'image de 0 par ainsi que les limites
prélude à l'usage du théorème des valeurs intermédiaires
le tableau est sinon correct
J'ai trouvé la même courbe que vous et mon tableau de variation donne ça aussi
Par contre mon alpha vaut 0.2 c'est normal ?
vous avez bien vu qu'une valeur approchée de est bien loin de 0,2
comment avez-vous trouvé 0,2 ?
en traçant la courbe représentative de on a bien le sommet pour
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