Bonjour
Énoncé:
Partie A: soit la fonction g définie sur [0,+infini[ par g(x)=1-x-e^(-2x)
1/calculer la limite de g en + infini
2/ étudier le sens de variation de g
3/a /démontrer qu il existe un unique réel a>0 tel que g(a)=0.
b/justifier que 0,79<a<0,80
C/ justifier que:
Pour tout x appartement] 0,a[, g(x)>0 et pour tout x appartenant ]a,+infini[, g(x)<0
Partie B:soit f la fonction définie de R vers R par f(x)=x-1
On note (C) sa courbe représentative dans un repéré (o,i,j)
1/justifier que Df=]0,+ infini[
2/on admet que f est dérivable sur ]0,+infini[
a/démontrer que pour tout x>0,
f'(x)=(
b/ en te servant de 3) c, partie A,préciser le sens de variation de f.
3/a. Démontrer que :
Pour tout x>0, ln(f(x))=1/x(1+xlnx)+1/2ln(1-e^2/x)
b/ en déduire la limite de f a droite en 0.
4/soient f1 et f2 deux fonctions définies sur [0,1] par;
f1(t)=e^t-t-1 et f2(t)=e^t-e/2*t^2-t-1
a/préciser le sens de variation de f1 puis en déduire que:
Pour tout t élément de [0,1] on a :e^t>1+t
b/ calculer f'2 et f''2
c) préciser le sens de variation de f2
e/ en déduire alors le signe de f2
f/en déduire de ce qui précède que;
Pour tout t appartenant [0,1 . 1+t<e^t<1+t+e/2*t^2
g/ utiliser cet encadrement pour démontrer que :
Pour tout x>2, on a 0<[f(x)]^2-2x<e
h/ justifier que, pour tout x>2, on a f(x)>√(2x)
i/ en déduire la limite de f en + infini
5/dresser le tableau de variation de f puis construire C
Réponse

Question 1
La limite en infini
Lim 1-x=- infini et lim e^(-2x)=0
Lim g(x)=- infini
Question 2
g'(x)=-1+2e^(-2x)
On a
g'(x)>0
ln(e^-2x)> -ln2
x> ln2/2
Pour x appartenant ]- infini , ln2/2[  , g est strictement décroissant
Pour x appartenant ]ln2/2, + infini[ g est strictement croissant
Question 3a
J aimerais savoir si on doit se servir du tableau de variation pour démontrer