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Niveau terminale
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fonction exponentielle

Posté par Profil moussolony 15-03-20 à 16:54

Bonjour
Énoncé:
Soit f la fonction définie sur R par:
f(x)=x-e^(2x-2)
1/calculer la limite de f en - infini
b/vérifier que pour tout réel x non nul
f(x)=x[1-2e^(-2)*(e^(2x)/(2x)]

Déterminer la limite de f en + infini
2/ déterminer f' : étudier le signe de f'(x) et calculer la valeur exacte du maximum de f.
3/démontrer que la droite (D) d équation y=x est asymptote a la courbe (C)
Étudier la position relative de (C) et de (D).
4/ on note A le point de la courbe C d abscisse 1
5a) on note i l intervalle [0,0,5]
Démontrer que l équation f(x)=0 admet dans l intervalle I une unique solution qu on noteran
5b/déterminer une valeur approchée a 10^-1 près de a
6/construire la courbe (C), l asymptote (D) et la tangente (
T)

Partie B
Soit g la fonction definie sur R par
g(x)=e^(2x-2)
Démontrer  que l équation f(x)=0 est équivalente a :
g(x)=x

2/ démontrer que ,pour tout reelx de l intervalle I on a
|g'(x)|<2/e
3/ démontrer que pour tout reelx, de l intervalle I, g(x) appartient a I
4/ utiliser l inégalité des accroissement finis pour démontrer que, pour tout entier naturel:
|Un+1-a|<2/e|Un-a|
5/ demontrer par récurrence que :
|Un-a|<(2/e))^n
6/ en déduire que la suite Un converge et donner sa limite .
7/ déterminer un entier naturel p tel que :
|Up-a|<10^-5
8/en déduire une valeur approchée de a a 10^-5 près n expliquera l algorithme utilisé par la calculatrice

Réponse
Partie A:
Question 1a
La limite de f en -infini
Lim f(x)=lim x-e^(2x-2)
Lim x=- infini et lim e^(2x-2)=0
Lim f(x)=- infini
Question 1b
f(x)=x-e^(2x-2)
f(x)=x-e^(-2)*e^(2x)
Je suis bloquée


[/url][/sup]

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 15-03-20 à 17:12

1.b) Tu pourrais répondre en partant de la deuxième forme de f(x) proposée dans cette question et en modifiant son écriture pour aboutir à la première forme.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 28-03-20 à 15:45

Bonsoir
f(x)=x(1-(2e^(2x-2)/(2x))
f(x)=x-(2xe^(2x-2)/2x)
f(x)=x-e^(2x-2)

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 28-03-20 à 16:23

Oui.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 28-03-20 à 18:52

Déterminer la limite de f
En + infini
Lim f(x)=lim x(1-2e^-2*e^2x/(2x)

Lim x=+ infini et lim e^2x/(2x)=+infini


Lim f(x)=+ infini

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 28-03-20 à 20:50

Tu as mis  x  en facteur. Il serait préférable de mettre en facteur non pas  x , mais  e2x .

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 28-03-20 à 22:18

Bonsoir
x-e^(2x-2)=e^2x(x/e^(2x)-e^-2)

Qu est ce que je dois faire maintenant

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 28-03-20 à 22:49

Fais tendre  x  vers  + oo .

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 07:29

Bonjour
Lim e^(2x)=+infini et lim x/e^(x)=0, lim 1/e^(x)=0

Lim f(x)=- infini

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 10:44

Oui.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 10:56

Question 2
f'(x)=1-2e^(2x-2)
Je n arrive pas a étudier son signe

Posté par
Pirho
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 11:19

Bonjour,

en attendant Priam

tu peux résoudre 1-2e2x-2 = 0, non?

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 11:21

Voici.ma proposition
Pour x appartement a R, 1-2e^(2x-2)>0
x>-ln2/2+1

Pour x appartement ]-infini,-ln2/2+1[,f'(x)<0

Pour x appartement ]-ln2/2+1,+infini[, f'(x)>0

Posté par
Pirho
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 11:34

non

Posté par
Pirho
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 11:36

remarque  \dfrac{ln(2)}{2}=ln(\sqrt{2})

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 11:50

1-2e^(2x-2)=0
1=2e^(2x-2)
ln(e^(2x-2)=ln1/2
2x-2=-ln2
2x=ln2+2
x=ln2/2+1
x=ln(√2)+1
Pour x appartenant]-infini,ln(√2)+1[, f'(x)<0

Pour x appartenant ]ln(√2)+1,+infini[, f'(x)>0

Posté par
Pirho
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 11:56

essaie un peu avec x = 1 par exemple

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 12:33

Pour x appartenant]-infini,1[,f'(x)>0
Pour x appartenant] 1,+infini[, f'(x)<0

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 12:38

C est correc

Posté par
Pirho
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 12:41

le signe est bon mais tu as oublié ln(\sqrt{2})

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 12:48

Pourx appartenant] ln2+1,+ infni[, f'(x)<0
Pour x appartenant]-infini,l'2)+1[, f'(x)>0

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 13:02

C est correct maintenant

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 16:42

C est plutôt
Pour x appartenant ]-infini,ln(2)+1[,f'(x)>0
Pour x appartenant] ln(2)+1,+infini[,f'(x)<0

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 16:45

Calculer le maximum
f(ln(2)+1)=ln(2)+1-e^(2ln2)

Je suis bloqué

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 19:38

2) Valeur du maximum de f. Pourrais-tu rappeler ici :
f(x) = . . .
f '(x) = . . .
Valeur de  x  pour laquelle f '(x) = 0 .

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 19:56

f(x)=x-e^(2x-2)
f'(x)=1-2e^(2x-2)
La valeur de x est :ln(2)+1

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 20:14

Cette valeur ne serait-elle pas plutôt  1 - ln(2) ?

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 20:20

OK, et qu est ce que je dois faire maintenant

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 20:57

Calculer f(x) lorsque on donne à  x  cette valeur.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 21:11

f(1-ln(2))=1-ln(2)-e^(-2ln(2)

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 21:38

f(1-ln(2)=1-ln(2)-(2)^-2
f(1-ln(2))=1-ln2-1/2

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 21:39

f(1-ln(2)=1-ln(2)-(2)^-2
f(1-ln(2))=1-ln2-1/2

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 29-03-20 à 22:07

La 1ère ligne me paraît juste, mais pas la suivante, car on a :

(2)-2 = 1/2 .

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 29-03-20 à 22:29

f(1-ln(√2)=1-1/2-ln(√2)
f(1-ln(√2)=1/2-ln(√2)
Et comment vous avez trouvé que
(√2)^-2=1/2

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 30-03-20 à 09:21

()-2 = 1/(2)2 = 1/2 .

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 30-03-20 à 17:58

Question 3
f(x)-x=x-e^(2x-2)-x
f(x)-x=-e^(2x-2)
En + infini
Lim f(x)=lim -e^(2x-2)=-infini
Je ne trouve pas zero

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 30-03-20 à 18:49

Il y a aussi un infini négatif . . .

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 30-03-20 à 20:48

Question 3
en -infini
Lim f(x)-x=lim-e^(2x-2)
Lim 2x-2=-infini et lim e^(2x-2)=0

lim f(x)-x=0
Donc la droite D d équation y=x est asymptote a la courbe C en - infiniment

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 30-03-20 à 21:07

Oui.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 30-03-20 à 21:55

Étudier la position relative de C et D
f(x)-x=-e^(2x-2)
Pour étudier le signe de e^(2x-2)
Je voudrais savoir si je sois dériver la fonction

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 30-03-20 à 22:30

C'est une exponentielle, inutile de la dériver.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 30-03-20 à 22:41

On sait que
e^(2x-2)>0
-e^(2x-2)<0

Posté par
Priam
re : fonction exponentielle 31-03-20 à 09:17

Oui.

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 31-03-20 à 13:55

On aura
f(x)-x<0
f(x)<x
La courbe c est en dessous de la droite D

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 31-03-20 à 13:56

Question 4
y=-x+1

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 31-03-20 à 22:32

Bonsoir
Est ce que mes réponses sont correcte?

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 02-04-20 à 09:22

Question 5a
g est strictement décroissant sur [0,05]
g(0)=0-e^-2
g(0)=-0,13
g(0,5)=0,5-e^-1
g(0,5)=-0 ,13
Comme g(0) *g(0,5)<0,donc l équation f(x)=0 admet une solution unique a dans [0,0,5]

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 02-04-20 à 18:07

Est que c est correct

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 04-04-20 à 20:18

Bonsoir
J aimerais savoir si ma méthode est correcte

Posté par Profil moussolonyre : fonction exponentielle 05-04-20 à 23:16

Bonsoir..
S il vous plaît quelqu un pourrait intervenir afin je puis terminer l exercice

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