Bonjour
Énoncé:
Soit f la fonction définie sur R par:
f(x)=x-e^(2x-2)
1/calculer la limite de f en - infini
b/vérifier que pour tout réel x non nul
f(x)=x[1-2e^(-2)*(e^(2x)/(2x)]
Déterminer la limite de f en + infini
2/ déterminer f' : étudier le signe de f'(x) et calculer la valeur exacte du maximum de f.
3/démontrer que la droite (D) d équation y=x est asymptote a la courbe (C)
Étudier la position relative de (C) et de (D).
4/ on note A le point de la courbe C d abscisse 1
5a) on note i l intervalle [0,0,5]
Démontrer que l équation f(x)=0 admet dans l intervalle I une unique solution qu on noteran
5b/déterminer une valeur approchée a 10^-1 près de a
6/construire la courbe (C), l asymptote (D) et la tangente (
T)
Partie B
Soit g la fonction definie sur R par
g(x)=e^(2x-2)
Démontrer que l équation f(x)=0 est équivalente a :
g(x)=x
2/ démontrer que ,pour tout reelx de l intervalle I on a
|g'(x)|<2/e
3/ démontrer que pour tout reelx, de l intervalle I, g(x) appartient a I
4/ utiliser l inégalité des accroissement finis pour démontrer que, pour tout entier naturel:
|Un+1-a|<2/e|Un-a|
5/ demontrer par récurrence que :
|Un-a|<(2/e))^n
6/ en déduire que la suite Un converge et donner sa limite .
7/ déterminer un entier naturel p tel que :
|Up-a|<10^-5
8/en déduire une valeur approchée de a a 10^-5 près n expliquera l algorithme utilisé par la calculatrice
Réponse
Partie A:
Question 1a
La limite de f en -infini
Lim f(x)=lim x-e^(2x-2)
Lim x=- infini et lim e^(2x-2)=0
Lim f(x)=- infini
Question 1b
f(x)=x-e^(2x-2)
f(x)=x-e^(-2)*e^(2x)
Je suis bloquée
[/url][/sup]
1.b) Tu pourrais répondre en partant de la deuxième forme de f(x) proposée dans cette question et en modifiant son écriture pour aboutir à la première forme.
Déterminer la limite de f
En + infini
Lim f(x)=lim x(1-2e^-2*e^2x/(2x)
Lim x=+ infini et lim e^2x/(2x)=+infini
Lim f(x)=+ infini
Voici.ma proposition
Pour x appartement a R, 1-2e^(2x-2)>0
x>-ln2/2+1
Pour x appartement ]-infini,-ln2/2+1[,f'(x)<0
Pour x appartement ]-ln2/2+1,+infini[, f'(x)>0
1-2e^(2x-2)=0
1=2e^(2x-2)
ln(e^(2x-2)=ln1/2
2x-2=-ln2
2x=ln2+2
x=ln2/2+1
x=ln(√2)+1
Pour x appartenant]-infini,ln(√2)+1[, f'(x)<0
Pour x appartenant ]ln(√2)+1,+infini[, f'(x)>0
C est plutôt
Pour x appartenant ]-infini,ln(2)+1[,f'(x)>0
Pour x appartenant] ln(2)+1,+infini[,f'(x)<0
2) Valeur du maximum de f. Pourrais-tu rappeler ici :
f(x) = . . .
f '(x) = . . .
Valeur de x pour laquelle f '(x) = 0 .
Question 3
f(x)-x=x-e^(2x-2)-x
f(x)-x=-e^(2x-2)
En + infini
Lim f(x)=lim -e^(2x-2)=-infini
Je ne trouve pas zero
Question 3
en -infini
Lim f(x)-x=lim-e^(2x-2)
Lim 2x-2=-infini et lim e^(2x-2)=0
lim f(x)-x=0
Donc la droite D d équation y=x est asymptote a la courbe C en - infiniment
Étudier la position relative de C et D
f(x)-x=-e^(2x-2)
Pour étudier le signe de e^(2x-2)
Je voudrais savoir si je sois dériver la fonction
Question 5a
g est strictement décroissant sur [0,05]
g(0)=0-e^-2
g(0)=-0,13
g(0,5)=0,5-e^-1
g(0,5)=-0 ,13
Comme g(0) *g(0,5)<0,donc l équation f(x)=0 admet une solution unique a dans [0,0,5]
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